作者mantour (朱子)
看板Physics
标题Re: [问题] 瞬时速度方向固定？
时间Fri Oct 1 00:48:14 2021
感谢C大和V大的回馈, 让我把想法整理得更清楚
瞬时速度的定义是:
"从某个时间点, 往前或往後取一小段时间间隔, 把这个时间间隔中发生的位移,
除以时间间隔的大小, 得到的值, 如果随着时间间隔趋近於零时, 会趋近於一个定值
则这个值就是这个时间点的瞬时速度"
所以在瞬时速度的定义中, 是完全不会用到路径长这个概念的
但是在解题时, 常常会用路径长取代位移, 来计算瞬时速度
举例来说
在等速率圆周运动中, 从圆的最ΔΘ高点开始向右走了ΔtΔΘ 的弧度
经过的路径长为 R ΔΘ, x方向的位移为 R sin ΔΘ, y方向的位移为 -R(1-cos ΔΘ)
但是因为 ΔΘ / Δt = ω
用路径长除以时间很容易可以算出瞬时速度大小为 ΔS/Δt = Rω
问题是, 这样算为什麽会对 ?
有一种解释方式是:
"因为在很短的时间内, 走的路径几乎等於直线, 所以位移大小=路径长"
於是原PO的学生就产生了疑问:
"如果每一小段时间都可以当作直线, 为什麽全部连起来不是直线"
这个问题最简单的回答就是:
"因为这个解释是错的,
这样算会对是因为我们可以验证
Δx/Δt = R sin(ωΔt)/Δt , 当Δt趋近於零时的极限是 Rω
而 Δy/Δt = -R(1-cos (ωΔt))/Δt, 当Δt趋近於零时的极限是0
所以瞬时速度大小是 Rω , 方向是 +x 的方向
可以用路径长去算是因为两者的极限正好一样, 老师说时间很短的时候弧长=弦长其实都
是唬你的, 照定义去算才是对的, 实际上圆周运动的任何一段弧线都不会等於直线,
为什麽会转弯的问题根本不存在, 实际上就是一直在转弯"
----------------------
这个答案100%正确, 但是我觉得并不满意, 因为几乎所有的情况下
瞬时速度大小都会等於 dS/dt , 这其中一定有道理。而且为什麽瞬时速度大小会等於
dS/dt, 但瞬时加速度大小, 却不是d^2 S/ dt^2 ? (不就是因为有转弯吗XD)
我认为要正面回答这个疑问, 应该要试着去探讨弧线和直线的差异到底有多
大? 而这个差异在什麽情况下不会影响到我们要计算的值, 在什麽情况下会影响?
先讲结论:
如果过曲线上的一点, 取一条直线, 使得在这一点附近, 曲线上的点跟这条直线的距离是
所有过这个点的直线中最近的. 这条过该点最接近原曲线的直线,就是原曲线在这一点的
切线. 此时若把原本的曲线运动投影到这条直线上, 去计算 Δy/Δx , Δx/Δt ,
Δy/Δt 等等在该点的极限, 跟用原本的曲线算出来的极限值, 都会是一样的.
但如果我们要算的是 d(dy/dx)/dt, d(dx/dt)/dt, d(dy/dt)/dt 等等从
dy/dx , dx/dt , dy/dt 再衍生出来的值, 求出来的值就会不对了.
这个时候我们必须用比直线更接近原本曲线的方程式去计算,
比如说, 如果我找一个二次曲线(抛物线), 使得在这一点附近, 曲线上的点跟这条抛物线
的距离, 是所有过这一点的抛物线中最小的. 这个抛物线, 在这一点附近就又会比切线更
接近原本的曲线, 如果用这个运动在这个二次曲线上的投影去算斜率的变化速率,
x, y方向的加速度等等, 跟用原本的曲线去算出来的结果, 就会是一样的.
(用二次曲线去算速度也会是对的,但是直线比较好算所以一般都会当作直线去算).
为什麽是这样?
为了避免跟实验测量产生的误差混淆, 我们把用直线跟2次曲线去近似, 跟原本的曲线之
间的差别, 不要叫做"误差", 把它叫做"余项"好了. 这里就可以搬出大家的好朋友
泰勒定理, 它告诉我们在该点附近, 最接近原曲线的直线跟原曲线的差距是 o(Δx)
或更小, 而最接近原曲线的二次曲线跟原曲线的差距是o(Δx^2)或更小. 只要再稍微
做一些推导, 就可以解释为什麽算速度的时後可以当作直线去算, 要算加速度的时候就
要用到二次曲线去算才会是对的. 我自问没有能力在此写出完美无瑕的严格证明, 就先
不献丑.
我想表达的是, 把瞬时的曲线运动, 当作直线运动去做计算, 只在某些情况下会是正
确的, 而且何时会正确的条件, 是可以归纳出一般性的原则的.
此外其实用2次曲线去取代原本的曲线, 可能不是我们最喜欢的一种方式,
另一种更方便的方式是:
过该点画一个圆, 使得在这一点附近, 曲线上的点到圆的距离是所有经过该点的圆中
最小的. 此时这个最接近曲线的圆, 跟原本的曲线之间的差距, 也会是 o(Δx^2) 或更
小. 所以把原本的运动投影到这个圆上, 变成一个变速率圆周运动, 就可以算出在该点
的切线方向加速度是 d^2 S / dt^2 , 而法线方向加速度是 v^2/R , R是过该点最接近
原曲线的圆的半径. (其实这个公式, 有些题目也会用到, 此时老师就会说时间很短所以
曲线可以当作圆的一部分, 那学生会不会又问说那为什麽同样是时间很短, 一下可以
当作直线, 一下又要当作圆?)
总结来说, 面对学生提出的这个问题, 虽然只用这个阶段的数学能力可能无法严格的
做出推导, 但是我最想给学生的答案会是: 计算曲线运动时, 有时候可以当作一段直线,
有时候却要当作一段抛物线, 或是当作一个圆去计算 (甚至有时要用比圆更接近的曲线
去算才可以), 这是因为而当作圆或抛物线, 跟当作直线, 跟原本的曲线接近的程度,
是不同的等级. 而要算出正确的答案, 需要哪一个等级的接近程度, 是可以根据你要算
的东西是什麽去决定的.
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 223.140.134.44 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1633020496.A.C3D.html
※ 编辑: mantour (223.140.134.44 台湾), 10/01/2021 00:52:18
1F：→ cloudwolf: 瞬时加速度用a=delta_v/delta_t这加速度的基本定义去 10/01 09:31
2F：→ cloudwolf: 算。delta_v虽然是直线，但在v的向量图上，可以很明显 10/01 09:31
3F：→ cloudwolf: 的看出是弦长，在delta_t趋近0时，一样请阿基米德出来 10/01 09:31
4F：→ cloudwolf: 用弧长取代弦长。就可以得到a=Rw^2。整个过程只用到除 10/01 09:31
5F：→ cloudwolf: 法跟极限，还有瞬时速度的结果。比用a=d^2_s/d_t^2简 10/01 09:31
6F：→ cloudwolf: 单多了。 10/01 09:31
7F：→ cloudwolf: 任意曲线运动会比较麻烦，因爲V2与V1的量值也不同，所 10/01 09:40
8F：→ cloudwolf: 以delta_v在向量图上不是弦线。不过没关系，将delta_v 10/01 09:40
9F：→ cloudwolf: 向量用弦长与垂直於弦的直线表示。分别处理，一样可以 10/01 09:40
10F：→ cloudwolf: 用简单的除法跟极限，算出加速度。 10/01 09:40
11F：→ mantour: 只要用定义去算, 都是对的. 不过你用向量图算的时候, 其 10/01 10:09
12F：→ mantour: 实也用了很多隐含的前提, 比如有些角可以当作直角, 有些 10/01 10:11
13F：→ mantour: 不一样长的线段可以当作一样长之类的 10/01 10:12
14F：→ mantour: 不过你说的对, 原原PO的问题也许只是学生定义不清楚, 是 10/01 10:15
15F：→ mantour: 我离题了 10/01 10:15
16F：推 ERT312: ds/dt = |v|, (v是瞬时速度) 数学上是可以证明的 10/01 11:43
17F：→ ERT312: 必须先知道曲线长的定义，当然并不是任何曲线都有长度 10/01 11:44
18F：→ ERT312: 不过还好运动轨迹所画的曲线都具有某些良好特性 包含长度 10/01 11:45
19F：→ ERT312: 从定义出发可以推导出曲线长公式 推导会用到一致连续的某 10/01 11:47
20F：→ ERT312: 些性质 (应该是高微的内容) 然後可以证出 ds/dt = |v| 10/01 11:49
21F：推 a547808588: 其实应该是（古典）微分几何，有兴趣去翻一翻do Carm 10/01 12:44
22F：→ a547808588: on那本就有了 10/01 12:44
23F：推 bellas: 现在国中没教十分逼近法了吗 泰勒也是在逼近 要多准看展开 10/03 02:25
24F：→ bellas: 多少 物理要考虑现实 圆周率我记到3.1515926 自然数2.9182 10/03 02:25
25F：→ bellas: 81828459045 光速299792458 重力加速度 9.78 要完美不妥 10/03 02:25
26F：→ bellas: 协那是数学 物理必需考虑现实状况 10/03 02:25
27F：→ bellas: 爲何要有这些逼近方法 因爲人要能处理得到最接近的答案 只 10/03 02:46
28F：→ bellas: 能尽力去逼近 现在有电脑给电脑去逼去 因爲有无理数这鬼东 10/03 02:46
29F：→ bellas: 西直混在里头 光简单盖个金字塔 必需用到三角函数 三角要 10/03 02:46
30F：→ bellas: 开庚号 又没事没法处理了 那想方法逼出最接近的答案 所以 10/03 02:46
31F：→ bellas: 有十分逼近法 这上千年前的问题还ㄧ直混在现代科学里 反 10/03 02:46
32F：→ bellas: 正就有无理数这鬼东西 圆周率 把一个圆切成很多很多小小一 10/03 02:46
33F：→ bellas: 段来处理 做个妥协 他超小段时是直线运动 然後把这很多加 10/03 02:46
34F：→ bellas: 起来不就行了 要算出圆周率就反过来 越多角型越像个圆 10/03 02:46
35F：→ bellas: 盖个金字塔没需要精确到小数点後很多很对位 10/03 02:48
36F：→ bellas: 不然看个像人造卫星绕地球做圆周运动 但观察者直接上太空 10/03 02:52
37F：→ bellas: 旁边看 它在做自由落体运动向 10/03 02:52
38F：→ bellas: 同样类比 做啥种运动 看观察者在哪个座标系 10/03 02:53
39F：→ bellas: 在太空站的人感觉不到有重力 可是他们在旁观者看一直在当 10/03 03:03
40F：→ bellas: 自由落体 太空站的人说他们明明没动啊 可是从旁边看他们就 10/03 03:03
41F：→ bellas: 在当自由落体 10/03 03:03
42F：→ bellas: 但太空站里的人看着窗外 欸 会一直向前飞的感觉 10/03 03:04
43F：→ bellas: 望下望地球 看起来会是风景看起来是平面 10/03 03:06
44F：→ bellas: 因爲太空人在的座标系是绕着地球在做圆周运动 10/03 03:08
45F：→ bellas: 把这些相对运动缩小很多 就是您的问题了 10/03 03:11
46F：→ bellas: 很多事没那麽复杂 能量守衡代表一个东西他很稳定的就在那 10/03 03:21
47F：→ bellas: 我们盖个房子 可能怕潮湿 要离地高点 那要怎样高点 最简 10/03 03:21
48F：→ bellas: 单 那棒棒把房子撑起来 一根棒棒除非那棒棒超大一根 不然 10/03 03:21
49F：→ bellas: 难 那两根棒棒 还是要很大根 试试当然好要三根 这三根撑起 10/03 03:21
50F：→ bellas: 该怎麽放 试试正常会是正三角型好 可是房子盖久了 也发现 10/03 03:21
51F：→ bellas: 要正三角不小心发现要真正三角计算时要碰到根号问题 那烦 10/03 03:21
52F：→ bellas: 直接再加一根就解决了 房子越盖越大 靠北不管了 墙直接 10/03 03:22
53F：→ bellas: 有撑着 重要地方加梁柱加强 人就越来越努力找出偷懒逃避现 10/03 03:22
54F：→ bellas: 实的方法 10/03 03:22
55F：→ bellas: 林北懒得算了啦 10/03 03:22
56F：→ bellas: 国三在那努力逼近的小弟的感想 能避开就避 10/03 03:24
57F：→ bellas: 常见的乐器 吉它 其实它的音是不可能调准的 就是调成像钢 10/03 03:33
58F：→ bellas: 琴一样 提琴类乐器没琴隔没这问题 真正吉它音要能调到完 10/03 03:33
59F：→ bellas: 全准会长这样 10/03 03:33
61F：→ bellas: 但不准还在可接受范围就一直算了 10/03 03:38
62F：→ bellas: 人目前只会玩到1/4音 那个误差太小 小到就算是协奏曲也无 10/03 03:40
63F：→ bellas: 所谓 10/03 03:40
64F：→ bellas: 真正的音感够的会适状况可能边弹边调 10/03 03:42
65F：→ bellas: 乐器声音马上就来来周期运动的问题 问题是这有问题从有吉 10/03 03:51
66F：→ bellas: 它就有了 理论算必有误差 还是这麽根本其实实是 就只为了 10/03 03:51
67F：→ bellas: 方便懒的误差 这误差太小 小到可能是是按弦时 往旁边一点 10/03 03:51
68F：→ bellas: 而已 10/03 03:51
69F：→ bellas: 琴格上只就一条还是搞那麽麻烦但又没多少人听得出来 那就 10/03 04:01
70F：→ bellas: 简单一条了事 10/03 04:01
71F：→ bellas: 现实世界就没完美的事存在 因爲有无理数 与其去逼近不如 10/03 04:07
72F：→ bellas: 能懒就懒 理论归理论 真拿来用 不能偷懒就逼近看要多精准 10/03 04:07
73F：→ bellas: 反正现在有电脑 让电脑去逼 10/03 04:07
74F：→ bellas: 牛顿先生的时代 要手算 他要想办法 国中时没真算过有多累 10/03 04:12
75F：→ bellas: 吗 去算一下 用到泰勒很人性化了 10/03 04:12
76F：→ bellas: 高中才只会展到x^2 10/03 04:13
77F：→ bellas: 叫他们多展开点试试 展到看看算到小数点後反正看时间 越多 10/03 04:14
78F：→ bellas: 越好 手算一次试试 10/03 04:14
79F：→ bellas: 真去感受一下 10/03 04:18
80F：→ bellas: 不然平常看到个根号2根号3都没感觉一下 去逼一次 10/03 04:19
81F：→ bellas: 逼一次 很自然就不得不接受 没事来个驱近於啥 很自然 10/03 04:21
82F：→ bellas: 就像行星运动 用圆算出来个大概先 有需要在用椭圆 10/03 04:37
83F：→ bellas: 您不想叫误差想叫余项的 那个就是误差 10/03 04:38
84F：→ bellas: 每段的小小直线它有有点点湾 不是真直线 就是妥协当直线 10/03 04:41
85F：→ bellas: 整个问题就出在 明说了几乎能当做直线 小朋友确问的是明 10/03 04:43
86F：→ bellas: 明是直线 连被问的都忘了说了 几乎 这两个字 10/03 04:43
87F：→ bellas: 几乎可以换成驱近也行 10/03 04:44
88F：→ bellas: 回归古人 他们要手算 真算过 会想偷懒 这些真手算看看 就 10/03 04:46
89F：→ bellas: 国中的十分逼近法 10/03 04:46
90F：推 Roshiel: 楼上，我国中就没教十分逼近法了 10/03 08:43