作者movingcastle (霍尔的偶尔才移动城堡)
看板Physics
标题[问题] operator以及product rule
时间Sat Jun 26 15:55:29 2021
关於operator math的优先顺序，我一直默认为「由右至左」，从未想过要用product rule
，於是有了以下的疑问：
https://i.imgur.com/xtm54Gg.png
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.115.144.146 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1624694131.A.951.html
※ 编辑: movingcastle (59.115.144.146 台湾), 06/26/2021 16:00:22
1F：推 Vulpix: 类似Δf_n(x)，你是想算f_n(x')-f_n(x)06/26 17:35
2F：→ Vulpix: 还是f_{n+1}(x)-f_n(x)？06/26 17:35
感觉两者都不像欸
但是谢谢V大
感谢K大
※ 编辑: movingcastle (223.137.46.54 台湾), 06/26/2021 21:26:03
4F：推 wohtp: 都要看成operator的话，就当成 (dQ/dt) = [d/dt, Q] 之类06/27 13:59
感谢w大
请问这边指的是commutator吗
5F：→ wohtp: 以上d都是partial06/27 14:00
6F：→ wohtp: 退一步来看，暂时先忘记我们在做QM，当作纯粹的数学练习06/27 14:02
7F：→ wohtp: 令 f = f(r, s), Q = s d/dr06/27 14:04
8F：→ wohtp: 你觉得 d/ds (Q f) 应该怎麽做？不就书上那样吗？06/27 14:04
https://i.imgur.com/GwMMdaD.png
9F：推 ocf001497: 把 d/dt 跟 Q 当成 operators A 跟 B 的话，我们可以写06/27 16:28
10F：→ ocf001497: 成 ABf = (AB-BA+BA)f = [A,B]f + BAf。我们知道 [A,B]06/27 16:28
11F：→ ocf001497: = [d/dt,Q] = (dQ/dt)，这一项代表我们对Q这个operato06/27 16:28
原来commutator有这个运用！
但是为什麽
[d/dt,Q] = (dQ/dt)为真？
是否假定 [d/dt,Q] f = d/dt(Qf) - Q (df/dt)
又假定函数f=f(x)非时间函数，则df/dt =0?
这里限制f没有time dependence，但是书上的 Ψ = Ψ(x,t)有时间dependence，如此一来
以上的等式不就不成立了吗
12F：→ ocf001497: r取时间导数，然後得到一个新的operator dQ/dt。我们也06/27 16:28
13F：→ ocf001497: 知道 BAf = Qdf/dt。所以就算都当成operator，我们还是06/27 16:28
14F：→ ocf001497: 可以得到 ABf = d/dt Q f = (dQ/dt)f + Q(df/dt)。这06/27 16:28
15F：→ ocf001497: 边的 ABf 仍然是理解成B先作用在f，A再作用在Bf上。只06/27 16:28
16F：→ ocf001497: 是我们用AB-BA+BA的AB-BA项得到(dQ/dt)。所以 ABf 跟06/27 16:28
17F：→ ocf001497: 原po图片的第一条式子并不冲突。06/27 16:28
感谢o大解说！
18F：推 ocf001497: 简单来说就是 ABf = [A,B]f + BAf 等於原po图片的第一06/27 16:30
19F：→ ocf001497: 条式子06/27 16:30
※ 编辑: movingcastle (223.137.137.2 台湾), 06/28/2021 17:34:57
※ 编辑: movingcastle (220.129.232.187 台湾), 06/28/2021 18:05:31
※ 编辑: movingcastle (223.137.137.2 台湾), 06/28/2021 18:17:24
20F：→ movingcastle: 十分感谢各位的解说，我想大致上我理解了，另外很 06/28 18:21
21F：→ movingcastle: 高兴学到了commutator的神奇活用XDD 06/28 18:21
※ 编辑: movingcastle (223.137.137.2 台湾), 06/28/2021 18:25:12
22F：→ wohtp: 如果都要看成operator的话，其实 d/dt = -iH06/28 19:18
23F：→ wohtp: 这样丢在state上面是薛丁格，跟 Q 对易是海森堡06/28 19:19
24F：→ wohtp: ...啊不不，其实不需要把 d/dt 跟 H 扯上关系也可以，请无06/28 19:25
25F：→ wohtp: 视上面的推文。06/28 19:25
26F：→ wohtp: 原po你回贴文的图差不多是了。(dQ/dt) 是well-defined的时06/28 19:35
27F：→ wohtp: 候就会对。 06/28 19:35
了解！
28F：→ wohtp: 然後我回一下你问O大的部分06/28 19:37
29F：→ wohtp: 首先，Q是operator，但某种程度上也可以加减乘除 06/28 19:39
30F：→ wohtp: 直观上来说我会想直接做 06/28 19:40
31F：→ wohtp: (dQ(t)/dt) = [Q(t+dt) - Q(t)]/dt 取极限 06/28 19:40
32F：→ wohtp: 大部分时候这样做都没有问题。以原po问的这个例子来说，就 06/28 19:42
33F：→ wohtp: 是直接把前面那个 t 偏微掉。 06/28 19:43
34F：→ wohtp: 咦例子是我自己举的 XD 06/28 19:43
wwwwwww
35F：→ wohtp: 好吧不重要 XD 重点是，有时候这个极限会跟 Q 对後面的作用 06/28 19:45
36F：→ wohtp: 打架：Q 本身定义有极限，谁先谁後有差别，之类的状况 06/28 19:46
37F：→ wohtp: 所以我们回来看 Q 和 d/dt 的作用。06/28 19:48
38F：→ wohtp: d/dt (Q f) = [d/dt, Q] f + Q (df/dt)06/28 19:48
39F：→ wohtp: 这个只是搬一下顺序，只要展开来没有哪一项发散就一定对06/28 19:49
40F：→ wohtp: 另一方面，假设d/dt可以作用在Q上面，那就有chain rule： 06/28 19:52
41F：→ wohtp: d/dt (Q f) = (dQ/dt) f + Q (df/dt) 06/28 19:52
42F：→ wohtp: 比较一下就得到 dQ/dt = [d/dt, Q]06/28 19:53
43F：→ wohtp: 然後我们拿这个来定义 dQ/dt06/28 19:53
感谢你！
44F：推 ocf001497: 关於f可不可以跟t有关，我想可以这样看：[d/dt,Q] f =06/28 21:04
45F：→ ocf001497: d/dt(Qf) - Q (df/dt) = (dQ/dt)f + Q(df/dt) - Q(df/06/28 21:04
46F：→ ocf001497: dt) = (dQ/dt)f。f可以跟t有关。所以我们得到[d/dt,Q]f06/28 21:04
47F：→ ocf001497: = (dQ/dt) f。也就是说，看成operator的话，[d/dt,Q]06/28 21:04
！！！！！！
对吼
48F：→ ocf001497: 作用在某个general的f上面时，跟(dQ/dt)作用在f上会得 06/28 21:04
49F：→ ocf001497: 到一样结果。因为这里f是general的，所以我们可以得到[06/28 21:04
50F：→ ocf001497: d/dt,Q]=(dQ/dt)。(dQ/dt)代表我们对Q这个operator取 06/28 21:04
commutator比神奇海螺还要神
51F：→ ocf001497: 时间导数之後得到的新的operator。我这里是都先假设所 06/28 21:04
52F：→ ocf001497: 有东西导数都well-defined & 不会遇到任何数学上的发 06/28 21:04
53F：→ ocf001497: 散问题。 06/28 21:04
我很乐意忽略任何数学发散问题:))
我甚至不知道发散是什麽（面壁
感谢你！
54F：→ gino928: 抱歉我想问个蠢问题，原po说"operator跟矩阵运算一样 06/28 23:04
55F：→ gino928: 要从右往左做"可是我怎麽记得矩阵运算没有这种限制 06/28 23:04
oh......对吼，矩阵没有这个限制欸
对不起我错惹
但是我想operator（原来中文叫运算子），好吧，运算子的顺序，由右至左应该是没有错的
。
※ 编辑: movingcastle (223.137.137.2 台湾), 06/29/2021 00:44:08
56F：→ kuromu: [A,BC]=[A,B]C+B[A,C] 06/29 18:54
57F：推 wohtp: 这里的发散问题其实很简单啦。在凑commutator的时候你先加 06/30 03:43
58F：→ wohtp: 再减 Q df/dt，要是这东西爆掉你的推导就爆掉。 06/30 03:43
59F：→ wohtp: 没爆就随便你乱来都会对。 06/30 03:44