作者yuantsai (芋圆好吃)
看板Physics
标题[问题] WKB Reflection Coefficient计算
时间Tue Sep 1 21:42:36 2020
╭──────────── 提醒：版规三及版规四 ─────────────╮
│解题文需附上自己的解题过程或自己对题目的理解 │
│问题文需先自行查过网路资料并附上对资料的初步理解 │
│问题获得回答後也勿任意删除文章，并适度的向回答者表达感谢之意 │
╰──────────────────────────阅读後可用ctrl+y删除╯
【出处】(习题或问题的出处)
Michael Berry 半古典近似文章
【题目】(题目的文字叙述，如有图片亦可提供图片)
大家好，最近在看WKB相关论文对波函数 reflection coefficient 的计算，考虑一个粒子(或波)
从无穷远处靠近一个 barrier，以potential V(x)表示。用WKB 近似的波函数可以得到
关於 reflection coefficient 的积分如下图
https://imgur.com/BqvKIIo
其中 p 指得是粒子动量 p(x) = √2m[E-V(x)]，E是粒子的能量，m是粒子质量
这边作者为了避免根号在复变会有多值的问题，直接令一新变数w，接着处理w-domain的
复变积分如下图(2.30) 和 (2.31)式
https://imgur.com/R3PVibF
WKB 近似最大的问题就是在反曲点时 p=0，而这会造成上述被积分函数爆掉，所以作者
考虑复变积分，假设发生在Wj这个点时，考虑会环绕Wj的封闭积分路径得到(2.32)
1.这边的封闭积分路径作者并没有说明，我的认为是将原本从负无限大到正无限大的在实
轴上的积分做向上变形并形成无限大半径的上半圆和包住奇异点Wj的小圆两个积分，小
圆能得到(2.32)式，但他是怎麽确定 p'/2p 的积分在无线远处一定会收敛到0的 ?
因为p'/2p 可写成 (-1/4)[ V'(x)/(E-V)]，这样来看在无穷远处是否收敛至0决定在
分母的V(x)，偏偏分子是V'(x)，分母没有高於分子两次以上，所以在无穷远处应该不
等於0，还是说我想的积分路径有问题 ?
接下来我认为作者後面是转回原本的x-domain来处理积分
2. 接着作者假设奇异的反曲点是 p^2 的简单零点，我的认知是 p^2 (x) 可写为
p^2(z) = (z-a)g(z) 其中a 是奇异点，g(z)是解析函数，所以 p'/2p 这个函数
可用 p^2 表示为 (p^2)'/(4p^2)，再将上式代入可得
(p^2)'/(4p^2) = (1/4){ [-a*g(z) + (z-a)g'(z)]/[(z-a)g(z)] }
上式乘上(z-a)并取极限 z=a 可得留数
R(a) = -a/4
所以得到(2.32)积分为 e^(2iWj)* 2πi*(-a/4) = e^(2iWj)*(-πai/2)，但我推出的
这个积分值和(2.34)式不同，不晓得作者是如何推出来的? 奇怪的是(2.34)式没有包
含特定的奇异点，所以积分是independent of poles ? 这样不就表示跟 potential
V(x)无关，这是我认为奇怪的点!
这两个问题卡了好几天了，还请各位前辈赐教! 谢谢!
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 110.50.159.229 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1598967758.A.670.html
※ 编辑: yuantsai (110.50.159.229 台湾), 09/01/2020 21:49:30
1F：→ congeebone: 2. 你可能不小心搞错了，(2.32) 的环积分是对 w 这个 09/04 11:54
2F：→ congeebone: 变数来做，而不是用你这边的 z (也就是论文里写的 x) 09/04 11:54
3F：→ congeebone: 来做，所以 residue 也不会是你得到的那样。然後 (2 09/04 11:54
4F：→ congeebone: .34) 怎麽会和 potential 无关？不然这些 complex tu 09/04 11:54
5F：→ congeebone: rning points w_j 和什麽有关？我有点不太确定你最後 09/04 11:54
6F：→ congeebone: 那几句话的意思，因为最後不是就是把这些 pole 的贡 09/04 11:54
7F：→ congeebone: 献 R_j 加起来吗？ 09/04 11:54
8F：→ yuantsai: 我可能没有说清楚，我的意思是2.34的积分值最後仅保留 09/04 12:41
9F：→ yuantsai: 到2.32的e^2iWj ，而後面被积分函数最後积出来得到iPI/3 09/04 12:41
10F：→ yuantsai: （这边并不清楚作者是如何积的）表示後面的积分值和tur 09/04 12:41
11F：→ yuantsai: ning point 无关 不知道这样认知是否有误会 09/04 12:41
12F：→ congeebone: 我好像懂你意思了，但其实就是 (dp/dw)/2p 在 p^(z) 09/04 13:36
13F：→ congeebone: 有 simple zero 的点上有 simple pole 1/6w，dp/dw 09/04 13:36
14F：→ congeebone: 和 p相除所以没有出现与 p(w)相关的系数也很正常。另 09/04 13:36
15F：→ congeebone: 外，我突然发现你 (z-a)g(z) 的微分算错了，所以得到 09/04 13:36
16F：→ congeebone: 的答案 -a/4 因次上就不对了。 09/04 13:36
17F：→ congeebone: ...扯远了，你还是先想看看怎麽把 p(x) 换成 p(w)，i 09/04 13:36
18F：→ congeebone: pi/3是怎麽出来的也就很简单了。 09/04 13:36
19F：→ congeebone: 打错...是 "p^2(z) 有 simple zero 的点上" 09/04 13:38
20F：→ yuantsai: 对 我的微分算错了，residue 应该是1/4才对,但这样也不 09/05 11:49
21F：→ yuantsai: 是1/6 虽然我还是在x domain 做计算,但应该不管是x 还是 09/05 11:49
22F：→ yuantsai: w 积出来的值是一样的才对 ，不知道我哪里miss掉了 谢 09/05 11:49
23F：→ yuantsai: 谢！ 09/05 11:49
24F：→ congeebone: 你要这样算也可以，但你用x当变数，积分的路径就不是 09/05 14:19
25F：→ congeebone: 完整的环积分了，以turning point为原点附近，△w～( 09/05 14:19
26F：→ congeebone: △x)^(3/2)，所以w积分绕turning point一圈，对应到x 09/05 14:19
27F：→ congeebone: 只有绕2/3圈，而因为这边只是simple pole，你可以直 09/05 14:19
28F：→ congeebone: 接(2/3)*(1/4)=1/6。 09/05 14:19
29F：→ congeebone: 我原本不是这样想，而是直接把w和x的关系泰勒展开， 09/05 14:19
30F：→ congeebone: 就可以得到 (dp/dw)/2p 的 Laurent series 的 1/w 项 09/05 14:19
31F：→ congeebone: 是 1/(6w)，所以积分的答案是 2*pi*i*(1/6)。 09/05 14:19
32F：推 congeebone: 更正：我上面很多写1/w的地方我想讲的是1/(w-w_j) 09/05 18:04