※ 引述《dagood (鲁叔->废伯)》之铭言： 回答你来信的问题 有问题请在板上发问就好 你的问题也可能是别人的问题 我不习惯回信(也捞不到p币) 你的疑问在於你用的积分公式 对於狭长矩形的形心y座标做了一个假设(就是在矩形中间) 你认为这个假设可能根据三角形形心而来 其实有限个点也是有形心的 一个点的形心就是它自己 n个点的形心就是它们的算术平均数 如 (a1,b1)，(a2,b2)，(a3,b3) 三点的形心为 ((a1+a2+a3)/3,(b1+b2+b3)/3) 这个点有个性质 它到那三点的距离平方和为最小 类似的概念用到封闭曲线围成的面积的形心 我们把面积切割到近乎可视为点(不必然要矩形) 然後再把这些"点"的座标做加权平均得到形心座标 权重就是"点"的面积 以上完全不必先知道三角形或是矩形的形心在哪 以平面三角形为例 要算 (a1,b1)，(a2,b2)，(a3,b3) 这三点围成的三角形的形心 若不考虑这三点产生垂直线(若发生a1=a2再另外处理) 则三角形为以下三直线所围 y = (b1-b2)/(a1-a2)*(x-a1) + b1 y = (b2-b3)/(a2-a3)*(x-a2) + b2 y = (b3-b1)/(a3-a1)*(x-a3) + b3 形心为 (∫∫ x dxdy / A , ∫∫ y dxdy / A) 积分区域为三角形内部,A为三角形面积 用Green thm把二重积分转为线积分 假设(a1,b1)，(a2,b2)，(a3,b3)这三点依序为逆时针 ∫∫ x dxdy = ∫_a2^a1 x*((b1-b2)/(a1-a2)*(x-a1) + b1) dx +∫_a3^a2 x*((b2-b3)/(a2-a3)*(x-a2) + b2) dx +∫_a1^a3 x*((b3-b1)/(a3-a1)*(x-a3) + b3) dx (化简整理後,可考验自己的计算能力或乾脆丢给电脑算) = (1/6)(a1+a2+a3)(a1b2+a2b3+a3b1-b1a2-b2a3-b3a1) 因(1/2)(a1b2+a2b3+a3b1-b1a2-b2a3-b3a1) 为三角形面积 所以形心x座标为 (1/3)(a1+a2+a3) ∫∫ y dxdy = =∫_b1^b2 y*((a1 - a2)/(b1 - b2)*(y - b1) + a1)dy +∫_b2^b3 y*((a2 - a3)/(b2 - b3)*(y - b2) + a2)dy +∫_b3^b1 y*((a3 - a1)/(b3 - b1)*(y - b3) + a3)dy =(1/6)(b1+b2+b3)(a1b2+a2b3+a3b1-b1a2-b2a3-b3a1) 因(1/2)(a1b2+a2b3+a3b1-b1a2-b2a3-b3a1) 为三角形面积 所以形心y座标为 (1/3)(b1+b2+b3) --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 36.238.89.6 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1540111041.A.8DF.html