※ 引述《MITjuching (CP3亚洲代言人)》之铭言： : 功能定理 合力对物体做功为物体动能的变化量 : 由这个定理可以推出 非保守力做功等於力学能变化量 非常好用 : 但我想请问 为什麽不是合力对物体做功等於物体位能＋动能的变化量 : 真的只是定义的问题吗？ 我的看法是，这是「系统」不够明确所造成的问题。让我分享一点满有 争议的想法，用我这套说法来解释给你听。最後我会说明我观察到的常 见的反对声音、疑虑，并回应它们。 在忽略质传、辐射等等的情形下，能量守恒定律可写为 ΔE = W + Q W : 外界对系统所作的功 Q : 外界对系统经热交互作用传递的能量 而只要我们定义明确的系统，就可以知道这系统所受的力量与热交互作用情形为何。 针对单质点系统，在不具有与外界之热交互作用的情况下，Q=0。因此，ΔE = W 而我们就能发现到，不论此力量源自何处，不论这力量是什麽，我们都可得出 ΔE = Δ(1/2mv^2) 的结论。因此，针对单质点系统，我们说它具有一种状态函 数，就是能量。而这能量 E 应该写为 E = 1/2mv^2 + Const. 基本上我们都说这 常数为零，於是单质点系统在仅经历力量的过程中，可以将它的能量理解为 E = 1/2mv^2。 接下来就是最有争议的地方了。假设世界上存在着 N 个单质点，而当我们推拉 这些质点时，由於质点间具有万有引力，所以即便我们将这 N 个质点都维持等 速率运动，使这 N 质点总能量都维持定值，但我们还是对这 N 个质点作功了。 那麽，我们传递给这 N 个质点的能量跑去哪了呢？我的答案是：重力场。而很 多人并不认同这点。我的看法是，重力场与这 N 个质点之间，以功的形式传递 能量、动量与角动量。然而，重力场在获得动量的同时，也把同样的动量传递给 其他与重力场作用中的物质。因此，我们始终都无法观察到重力场的动量与角动 量，并不像是电磁场那样能够有个延迟效应，然後可说明动量经过一段时间後， 由 A 电荷传递至 B 电荷。而我想这也是使人难以接受将重力场视为一个实体的 原因之一。 假如世界上只有 2 个质点，而在我们固定其中的 A 质点，并等速率地将另一个 B 质点由相距 r1 拉成 r2 (r2 > r1) 的过程中，我们必须对 B 质点作 (-GMAMB/r2) - (-GMAMB/r1) 的功。而基於能量守恒，在两质点速率都不变的情 况下，我们自然得说刚才藉由功所传递的能量，跑到了重力场之中。 在上述这过程中，倘若我们将重力场纳入我们的系统定义中，那麽此时我们作 的功，当然就会是 ΔE = ΔEA + ΔEB + ΔEg = W + Q = W(人对B) + 0 = [(-GMAMB/r2) - (-GMAMB/r1)] + 0 又因为 ΔEA = 0, ΔEB = 0，所以 ΔEg = (-GMAMB/r2) - (-GMAMB/r1) 因此，在系统包含场的情况中，「外力作功」可以是（系统的）动能变化与 位能变化总和。然而，倘若你不将场视为系统的一分子，例如你将上例中的 B 质点视为系统，而将重力场视为外界之中的一分子，那麽你的合（外）力作 功就会是（系统的）动能变化而已了。 ΔE = ΔEB = W + Q = W(重力场对B) + W(人对B) = [(-GMAMB/r1) - (-GMAMB/r2)] + [(-GMAMB/r2) - (-GMAMB/r1)] = 0 总而言之， 如果将系统定义为「某某单质点」，那麽在此系统只会受到牛顿力学中 的力量的前提下，合力作功导致的能量变化形式，使我们说合力做功只 造成动能的变化。然而，如果你将系统定义为「某某单质点与重力场」， 此时的合外力作功就会造成系统内的位能变化与动能变化。 ----------------------------------------------------------------- （底下内容有点长，如果有人愿意拨冗看看，我会很感谢QQ 不过大概只对在乎国高中物理教育的老师比较有意义QQ） 底下是我个人对於常见反对声音的回应： 我在很多地方分享过我的重力场观点，虽然我认为以上说明能完整解释你 的疑虑，但这并不被大多数人接受（往往是没人在乎QQ）。我举一个我没 见过但我认为应该存在的疑虑。在地表上，重力的写法是 mg 。而假如我 们将重力场视为一个可具有重力位能的实体，那麽在有 N 个质点的地表上 （宇宙只有一个地球与N个质点），当这N个质点离地高度有所变化时，重 力场的能量又应该有什麽样的变化？ 根据我上述的推论，会得到一个有点令人难以接受的莫名其妙的结果： ΔE = ΔEg = W + Q = W1 + W2 + ... + WN + 0 = (+m1g)Δy1 + (+m2g)Δy2 + ... + (+mNg)ΔyN = Δ(m1gy1 + m2gy2 + ... + mNgyN) 因此，我们应该推测，重力场的能量应该写为 E = m1gy1 + m2gy2 + ... + mNgyN + Const. 而为了方便起见，我们设定当 y1 = y2 = ... = yN = 时的重力场能量为零。 因此，常数为零。而上述这样的讲法，会跟我们从国中学到大学的一套说法 完全相违背：「物体的重力位能为 mgh」。是的，在我这套说法中，重力位 能从来都不会是物体的，而会是重力场的。光是这点，就使得99%的人不接受 上述说法了。除此之外，即便我们在电磁学中，应该是很熟悉 U = 1/2 Σ-kQiQj/rij + Const. 但我们对於将重力位能写为 Σ(mi g yi) + Const. 还是觉得很不自然。 除此之外，我在先前的 W1 + W2 + ... + WN 推导中，我写到了 (+mg)， 这是基於牛顿第三定律以及将重力场视为一个实体时，不得不得出的结果， 也就是说，重力场对物体向下施力的同时，物体也对重力场向上施力。而 这就让非常多人感到很「不舒服」，但对我而言，在我们将电磁场视为具有 能量、动量与角动量时，也是逻辑蕴含着相同的结果。 当然，我上述的说法并不是在说重力场是个有着「物理学术上」有价值的 概念，但我觉得，他可以在物理教育上给出一致融贯的说法。举例而言， 考虑两个互相接近、直线加速的A/B质点，倘若我们不使用重力场的概念，那麽 该怎麽解释重力位能呢？我们会说这是只有当两质点作为一个系统时，才出 现的能量，而单看一个时，就不会出现了。虽然我认为能量一定是属於某某 系统的，所以如果两质点个别来看时是没有位能的，那麽一起看时，也不会 有位能的存在，但就先无视这点，让我说明一下这种观点的其他不一致之处吧。 此时，可以解释两质点互相作的功的意义吗？ 显然，A 对 B 作正功，所以 A 传递能量给 B。另外，B 也对 A 作正功，所 以 B 也对 A 作正功，并且在两者不受其他外界影响的情况下，能量应该是 守恒的。因此，A 跟 B 的能量，也就是动能，应该是增加的。 ΔEA = W(B对A) > 0 ΔEB = W(A对B) > 0 因此，ΔEA + ΔEB > 0。 而这就显然与「AB双质点系统的能量是守恒的」矛盾了。然而，常见的解套 方式就是在此时纳入一个「位能」。 即便 ΔEA 无论如何都可藉由牛顿定律得出 Δ(1/2mvA^2) 的结果，但这 解套方式是说，当我们考虑双质点时，ΔEA + ΔEB ≠Δ(EA + EB)。 这时系统会多出一个能量，叫做位能： Δ(EA + EB) = ΔEA + ΔEB + ΔUg 因此，虽然 ΔEA + ΔEB > 0，但因为系统总能量变化其实是 ΔEA + ΔEB + ΔUg， 并且 ΔUg < 0，所以总能量变化仍然为零。 我个人不接受 Δ(EA + EB) = ΔEA + ΔEB + ΔUg 的原因，除了我认为 能量必须具有叠加性以外，还有一个原因就在於我认为 WBA 必须等同於 -WAB。 也就是说，A若对B作30J的正功，那就是在说，A传递给B 30J 的能量，也就 是说，B对A作-30J的负功。因此，WBA = - WAB。但在这里，显然 WAB>0，WBA>0。 因此，「功」在超距作用时，就失去了能量传递的意义。此外，还有个原因是 这会让我们不晓得位能「在哪里」。常见的说法是，位能是多质点系统所共同 拥有的，但我们究竟从这说法获得了什麽？ 如果质点在 x = 5cm 的位置，那麽它的动能显然也必须在 x = 5cm。 但如果有分别位於 x=5cm, x=7cm 的两个质点，那麽它们的位能究竟 在哪呢？在 x=5cm？还是 x=7cm？我想都不对，难道会是在中间 x=6cm？ 似乎也没有好理由这麽想，毕竟物体不在 x=6cm。但如果我们说，位能不 仅在 x=5cm，也在x=7cm，那似乎就合理了点，毕竟这是两质点的能量。 但是，如果我们把距离拉到3 公里，那麽这两物体是否就隔着 3 公里甚至 是 3 万公里，同时地传递能量呢？总不可能这两物体互相接近加速时，它 们都不需要对彼此传递位能吧？毕竟，它们的位能变化总和，必然与动能 变化总和差个负号： ΔEA + ΔEB + ΔUg = ΔEA + ΔEB + ΔUA + ΔUB = 0 而要说 ΔEA + ΔUA = 0 ; ΔEB + ΔUB = 0，似乎是太牵强了点。 但如果它们之间有能量的传递，那麽又是如何可能地隔空传递能量？ 套一句 Halliday 於第九版(P.580)所说的话： 「How does particle 1 “know” of the pres- ence of particle 2? That is, since the particles do not touch, how can particle 2 push on particle 1 — how can there be such an action at a distance?」 不仅是隔空传递能量，它们彼此所受的力量也都恰好满足 F=GMm/r^2 的关系， 究竟两质点是如何「知道」彼此的距离并正确地「承受了」GMm/r^2 的力量？ 即便是提出万有引力的牛顿本人，也觉得这是莫名其妙的： 「实在难以想像没有生命的物质能够作用与影响其它物质，不需要非物质传递 机制，不倚靠彼此接触…….对物质而言，引力应该是内在的、固有的、基 础的，使得一个物体能够作用於以真空相隔有限距离的另一个物体，不需要 通过任何媒介传递作用力从一个物体到另一个物体，这对我来说是一个特大 荒谬，我相信不会有任何在哲学方面具有足够思考能力的人士会坠入其中。 引力必定是由按照某种定律作用的机制所造成的。至於这机制到底是物质的 还是非物质的，在这里我留给我的读者来思考。」 而作为牛顿的「读者」，我个人觉得，在古典物理的框架下，我们需要 接受有重力场的存在。 只要接受重力场的存在，那麽就可以让「功」的意义延续下去，不会有 在超距作用时，就不可以将功理解为「传递能量的管道」的情况。此外， 场的出现确实就是为了解释超距作用，一直以来都被物理学家视为诡异 情况的超距作用，在国高中生心中却被视为理所当然，我一直觉得这很 不恰当。也因为我们能接受重力场，所以成功解消掉超距作用的迷思， 而可以使用接触力的想法来理解万有引力或库仑力。诚然，重力场跟电 磁场一直有着许许多多不一样的地方，在国高中教重力场的概念的原因， 并不是为了追求正确的物理知识（那会是广义相对论以及更後面的物理）， 而是基於给出一致的物理学教育内容。 我自己教家教时，我都会教上述的所有想法，但都会补一句「不要这样写」。 因为写了，教授会打叉。但我自己可将这些想法，用在我过去於物理系遇 到的可能问题中，没遇到什麽不能解释、说不通的地方。另外，也有人对 於将 ΔE = W + Q 视为能量守恒定律十分感冒，我只能说我认为这是能量 守恒定律的特例（可见 Serway 第九版 p.604）： 「Pitfall Prevention 20.8：The First Law With our approach to energy in this book, the first law of thermodynamics is a special case of Equation 8.2. Some physicists argue that the first law is the general equation for energy conservation, equivalent to Equation 8.2.」 ΔE = W + Q + T(MR) + T(MT) + T(ET) + T(ER) + ... T(MR) : mechanical waves T(MT) : mass transfer T(ET) : electrical transmission T(ER) : electrical radiation 有些人认为，动能是可以直接由牛顿定律推得的。但就我个人的小小研究， 我认为这会有着许多问题，尤其是无法解释动摩擦力的作功与热传现象。 我先前有在板上分享，就不谈细节了，详见我的网志 https://goo.gl/KXpZe8。 感谢阅读～～ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 140.112.25.121 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1528967228.A.914.html ※ 编辑: Philethan (140.112.25.121), 06/14/2018 17:52:07 我也觉得自己讲得很乱XD 抱歉，简单来说，我觉得应该把重力场当作一个东西。然後， 如果我们把重力场纳入系统内的一份子时，系统才有「位能」这种能量，否则就没有。 而如果重力场真的是一种东西，那麽会跟主流说法「重力位能是物体的能量」、「重力位 能是物体跟地球所共有的能量」相冲突，所以我在虚线下方说明我对这些不相容处的讨论 ，说明为什麽我认为有更好的理由使我们接受「重力场是存在的东西」的想法。 抱歉，下午赶时间，作业还没写完QQ ※ 编辑: Philethan (223.140.3.249), 06/14/2018 20:03:20 不太确定你说哪部份有问题？你是说「我们会说这是只有当两质点作为一个系统时，才出 现的能量，而单看一个时，就不会出现了。」这句吗？然後，所谓的「根本不用」是指什 麽意思？另外，你说的「”这些”都是内能」是指哪些呢？我觉得您可以回文，比较好说 清楚。对了，我的立场其实是反对那论点的哦，就是「我们会说这是只有当两质点作为一 个系统时，才出现的能量，而单看一个时，就不会出现了。」这句 ※ 编辑: Philethan (223.140.3.249), 06/14/2018 20:30:02 咦，我的意思正好是指「单质点物体不具有位能」哦，位能是重力场的、电磁场的。 至於实际的物体（例如一个橡皮擦）的内能，就必须考虑构成物体的所有电子、原子核 造成的电磁场的总能量，但那些电磁场也是在物体内部的，而"不太会"溢散到物体外 部，这能量可用来解释固体比热等。就这意义上，「一般常见物体的位能」其实也是 电磁场中的能量。 是的，不过显然这里的重力场实在性地位并不如电磁场，也更不如一般物质那样地高。 实在性地位：随处可见的物体 > 电磁场 > 重力场 对我而言，重力场是个可以解释能量、动量、角动量远距传递现象的实在物。 在 Mary B. Hesse 的《Forces and Fields》中，也有提到法拉第当时是如何 思考重力场的实在性问题： At the end of the century, gravitation still remained outside the electromagnetic synthesis which seemed in principle to have comprehended the rest of physics. Faraday had argued in his paper of 1852 that gravitation appeared to exhibit pure action at a distance, but in 1855 he expressed his conviction that if this were the case, it violated what he called the principle of ‘conservation of force’ or of ‘power’. Newton himself did not accept action at a distance as sufficient, and, Faraday goes on, ‘I cannot help believing that the time is near at hand, when his thought regarding gravity will produce fruit’[1]. According to the action-at-a-distance view, the sun and the earth have no gravitational power when entirely removed from each other, but this power suddenly arises when they are in relation to each other. But Faraday considers ‘That a body without force should raise up force in a body at a distance from it, is too hard to imagine; but it is harder still, if that can be possible, to accept the idea when we consider that it includes the creation of force. 实在是很难想像一个没有能量的物体（a body without force），能够从一个 遥远的物体获得能量。而更难想像的是，倘若真是如此，那麽我们就不得不 承认有所谓的「无中生有」的能量。 There are only three possibilities consistent with the conservation of force: 1. That ‘the gravitating force of the sun, when directed upon the earth, must be removed in an equivalent degree from some other bodies, and when taken off from the earth (by the disappearance of the latter) be disposed of on some other bodies’, but no such thing has been observed. （翻译） 1. 当太阳朝向地球靠近时，其他的物体必然会失去一样多的重力位能（gravitating force）（以使地球能量增加）。而当太阳与地球互相远离时，这些重力位能 会分配到其他物体中。然而，法拉第认为我们并没有观察到这种现象。 2. That ‘it must take up some new form of power when it ceases to be gravitate, and consume some other form of power when it is developed as gravitation’, but Faraday himself has undertaken experiment[2] with the object of connecting electricity with bodies moving in a gravitational field, with entirely negative results, and the idea has never been suggested by others. （翻译） 2. 当太阳与地球太远，以致於没有受到什麽重力时，重力能量一定会转换成其他形 式的能量。并且当它们互相吸引时，这也必然同时代表着，其他形式的能量会在 此时被消耗掉。然而，法拉第自己做了实验，他将带电物体放在有重力作用的范 围中使之运动，但并没有观察到这种转换至其他形式的能量的现象。此外，其他 物理学家也并没有类似的想法。（注：法拉第在此显然假设"其他形式的能量" 应该是跟电磁有关的能量。） 3. That ‘it must be always existing around the sun through infinite space. This is the only possibility remaining: （翻译） 3. 最後剩下的唯一可能就是，这些能量必然存在於太阳之外的无限空间之中。 ‘This case of a constant necessary condition to action in space, when as respects the sun the earth is not in place, and of a certain gravitating action as the result of that previous condition when the earth is in place, I can conceive, consistently, as I think, with the conservation of force: and I think the case is that which Newton looked at in gravity; is, in philosophical respect, the same as that admitted by all in regard to light, heat, and radiant phenomenon; and … is that now driven upon our attention in an especially forcible and instructive manner, by the phenomenon of electricity and magnetism[3]. （翻译）如我所设想的那样，我能够设想一个与能量守恒定律一致的情况，也 就是说，我们此时谈论的重力场(the case)应该就是牛顿看待重力的方式。以 哲学角度而言，重力场就相当於我们对光、热、辐射等现象的了解那样，迫使 我们以理解电磁现象的方式去理解、思考它们。 您是指「....所以即便我们将这 N 个质点都维持等速率运动，使这N质点 总能量都维持定值....」这一段吗？在这里确实是指N个质点受到多个万有引力 以外的外力，使得它们「都」维持等速率运动，使动能不变。 而如果是针对後面提到的 「那麽在有 N 个质点的地表上（宇宙只有一个地球与N个质点），当这N个质 点离地高度有所变化时，重力场的能量又应该有什麽样的变化？」 那麽这里并没有假设这N个质点作等速率运动，也不要求它们有任何形式的运动。 也当然就没有要求它们作等速度运动 ^^ 我觉得问题并不大，不过这两者确实也满不同的。例如，古典物理下，似乎没有重 力波，但确实有电磁波。也因此没办法观察到能量传递所需要的时间，重力场在传 能量时，在古典物理中，似乎都是同时传递的。又因为「因果」必须有时间先後的 差别，所以即便我们接受重力场的实在性，也无法说明为什麽两星球的能量变化总 是「没办法观察到时间差」，亦即似乎都是「同时发生」。而因为我也没学过广义 相对论，所以也无从评论起爱因斯坦对古典重力的看法是什麽，也不清楚所谓的重 力波究竟是什麽。 不过，如我前面所说的，就以「一致的物理教育」而言，我目前还是满支持有重力 场观念的出现。 1. 「功的能量传递意义」就不用被修改 2. 解消掉万有引力的超距力问题，使得「场」的教育不再只是 F/m, F/q 等 公式记忆，而是具有着解决物理问题的内涵。因此，我教这里时，我都不会 说是万有引力，因为「引力」蕴含着超距力的意义，我会说「重力场施的力」。 3. 让系统的意义更明确。要谈能量之前，需要先讲清楚系统是什麽。 如此一来，功的意义就更准确，一切只不过是能量守恒定律。 如 Robert P. Bauman 这篇〈Physics that textbook writers usually get wrong〉，他写到 "What must be done is a) to be consistent, within any problem, in how we define the system and hence how work is calculated, and b) let students understand which way we have chosen to de- fine the system in any given problem." 我想应该是我们的说法不同，但意思相同 XD 以一个自由落体的物体为例，我的说法会是，重力场对物体作正功，使物体获得 能量。在这过程中，物体获得能量的表现是其动能增加。而重力场失去能量的表 现是位能减少。而按照你的说法，你应该会说重力场将位能传递给物体，使物体 获得能量，所以你将「物体获得的能量」称为「物体的位能」，但其实是以1/2mv^2 的方式表现。 我们的意思应该是一样的吗？ 虽然我个人对於能量的名称，是有着一套规则的。 能量的名字是源於能量的数学式给我们的感觉。 1/2mv^2 是单质点的动能。mgy 是重力场的位能。 所以当物体的 1/2mv^2 增加时，我会说物体获得能量，使得动能增加。 但因为物体的能量始终只能写为 1/2mv^2，所以物体不具有位能，而只有动能。 ※ 编辑: Philethan (123.192.0.245), 06/14/2018 23:59:04 可以说说你的想法吗？或许你觉得，如果只有重力场，那麽连 m 都没有， 又如何可能有所谓的「重力场」的位能？类似的问题是，例如电位能 kQq/r， 倘若连电荷Q/q都没有，那如何有电位能？其实这是因为能量只是个相对值， 而非绝对值。 以电位能为例，我们没办法从 kQq/r 去谈只有电场时的电场能量，因为 事实上，我们都是在电荷已经存在着的情况下，去谈电荷运动时，电场 的能量变化。接着，我们再定义其中一个电场状态为能量为零的情况，然 後才写出了 U=kQq/r 之类的式子。重力位能的情况也是一样的，我们只 能从 -GMm/r 求出相对於某重力场状态的能量为何，但无法知道在有场源 之前与之後的重力场能量变化。 不过，在电磁学中，有所谓的 Poynting's theorem，基於电磁场对电荷 所作的功率，我们可推得一串积分式。接着，我们将其中一项理解为电磁场 的能量时变率，而将另一项理解为电磁波对外界电磁场的能量传递功率。由此， 我们""定义""出所谓的能量密度（但对於不连续电荷分布的情况，这能量 密度所算出的电位能并不等同於 kQq/r 所算出的值，虽然因为实际上都是连续 分布——没有点电荷——而没这个问题），然後接着得出电磁场的能量密度分 别为何。而在这情形下，假如我们只计算单一点电荷造成的电场的能量（电位 能），你会发现这趋於无穷大。但这并不意外，因为空间中也确实存在着要多 大就有多大的电场（基於点电荷的假设），所以电场能量要多大就有多大，也 是合情合理的（但只要假设电荷是半径为R的金属球，电荷都分布在表面上， 那就不会有无法定义的、无穷大的电场能量的问题）。话说回来，基於 Poyn- ting theorem，我们似乎有好理由相信在只有一个场源时，电场也确实具有着 能量。因此，在只有一个质点时，我们似乎也可以用同样的方式理解「场源存 在前後」的重力场能量变化，也就相信有重力场的能量的存在。 不过，我得承认这并非如此，因为不考虑广义相对论的古典物理中的重力场 似乎没有所谓的 Poynting theorem analog（但考虑广相的话，有），所以 没办法给出所谓的「场源存在前後」的重力场能量变化。然而，至少我们从 上述推论可以知道，我们之所以没办法从 -GMm/r 得出重力场本身的能量， 是因为我们已经预设场源早已存在，而我们只是改变场源的位置而已。 而其实我刚也只是说「似乎没有」，或许曾有人推出古典物理中的重力场 Poynting theorem，只不过因为广义相对论的关系，所以已经逐渐被淡忘了。 但无论如何，我个人觉得，将重力场视为一个实体，并认为它具有着能量， 在物理教育上是有着一定的好处。只要不涉及广义相对论，就我个人经验而 言，这样的想法也应该不会有什麽问题。 最後附带一提，其实常见的能量密度甚至是 Poynting vector 都有些疑虑， 例如，按照常见的做法，S = E x H，我们会得出在静电磁场的情况下，也 会有能量的传递，这会有点奇怪。此外，因为我们是基於那能量守恒积分式 去给出能量密度与波印廷向量的定义，所以其实我们还有着许多自由度可用。 换言之，目前主流的定义并非唯一的定义。因此，电场是不是真的有能量呢？ 或许也是有那麽一点的「讨论空间」...以Griffiths的话来说，这取决於我们 想在什麽「脉络」下讨论。不过我自己是有个想法，或许原子核物理学中的 pair production的电磁场能量变化可以给出我们心中最正确的电磁场能量 形式，不过我也不会这个就是了。 相关的讨论可以看这篇论文： Electromagnetic Potentials Basis for Energy Density and Power Flux https://arxiv.org/pdf/0904.1617.pdf ※ 编辑: Philethan (123.192.0.245), 06/15/2018 00:33:08