※ 引述《KBmax (James阳)》之铭言： : 最近租片看了《天才的礼物 / Gifted》，整部片数学部分围绕着纳维 - 斯托克斯存在性 : 及光滑性，其实蛮好奇这个问题他的重要性还有发展潜力的(解决以後会对未来学术界的 : 发展影响等)，居然值得砸下这麽大的奖金去悬赏？片中还说对人类未来有非常重大的意 : 义@@ : 维基也只有简单提到他的解包含紊流，我蛮好奇的是既然都有数值方法可以解决了那为啥 : 这个问题仍旧很重要？ : 然後他这个问题的困难点是在哪呢？ : 不知道版上有没有神人可以一起来聊聊@@ 确实是蛮重要的 让我们欣赏一下NS eq是什麽 牛二应用在流体力学的力学运动方程式是以下 (就是说 如果把流体切开为一个质点分析 根据第二运动定律会有以下结果) 张量的推导其实可以省略很多版面 不过 乡民看不懂 我也看不懂 所以我们取一个方向来讲一下好了 x方向 Du ∂σxx ∂τyz ∂τzx ρ-- = ------- + ------- + -------- + ρgx eq(1) Dt ∂x ∂y ∂z 这个东西怎麽来的 如果以牛二来解释 想像一个刚体质点 d F = ---(mv) = m'v + v'm = ma dt 但是对於一个流体质点 他就不是刚体 他会变形 所以要用这个质点受到的各种应力去分析 上面那一串很讨厌的x方向就是这样来的 第一项ρDu/Dt是加速度惯性力 二三四是应力平衡 最後一项是物体力 PS 推导过程中会消去yz方向的面积 所以才会有eq(1) 反正eq(1)基本概念就是动量守恒或力平衡而已 但是呢 如果要真的分析流体(连体)的受力 并不是只有单纯上面的式子 最明显的例子就是如果流体是不均匀的 犹如大如海水盐度 小如你今天拉肚子冲马桶之後的流动 如果以单一等向性均质性等等去分析 问题可以简化不少 所以这部份又变成 如果要考量流体本身的性质呢？ 单纯流体中 我们只要注意 du τ = μ -- eq(2) dy →τ du/dy ██ ＝ ◢█◤ → y ------------------ -------------- ↑→x →u(速度方向) eq(2)是基础流体力学会讲的基本概念 他的意思是跟你说 流体受到的剪应力与黏滞系数与速度梯度成正比 大概可以类化为摩擦力f=μN 但两者其实差异很大 这边的类化只是告诉没有学过流体力学的乡民一个概念而已 单纯流体而言 受到的剪应力τ越大 因为同物质 μ是一个系数"可能是定数" 所以流体是的速度梯度du/dy越大 产生流动越快的性质 但是这个假设是在牛顿流体才成立 牛顿流体是说eq(2) 非牛顿流体是是说τ =~~ μdu/dy 那些东西 有兴趣自己查询 再者 就算是牛顿流 μ这个东西可就好玩了 他不一定是常数 他可能随着温度而改变 亦可能随着分子之间的运动而改变 (比方说我往y方向跑 结果z方向受到μ的影响不是固定） 各种变因造成μ不会是那麽稳定 所以定义了λ 动黏滞系数 这东西在人类与地球的生活条件中 是相对稳定的 所以如果取一块流体的x方向正应力分析 会有在x方向正向应力的应力平衡 ∂u → σxx = -P + 2μ---- + λ(▽．V ) .... eq(3) ∂x 这种其怪的东西 ▽．V是因为 x方向不一定是均质等向什麽挖沟的 造成yz也会影响所以无法写得很精简 当然如果只考虑xz方向的应力平衡 ∂v ∂w τzy = μ(---- + -----) ....eq(4) ∂z ∂y 这种东西 当然还有yy, yz, xy,... 这些应力与剪应力 光是一个x方向就搞死人了 如果要把这些东西丢进去最基本的eq(1) 就是牛二 力平衡概念(动量守恒) 爱因斯坦来看也会吐血 这时候Stoke谁想了一个合理的假设 2 λ + ---μ ＝ 0 (stoke hyp.) 3 因为流体的等向性质 以及绝大部份气体而言 有上面的假设 这部份是微观巨观已经证实ok的所以乡民不用猜测了 统统丢进去eq(1) 又因为流体为液体不可压缩 经过好多次翻云覆雨 可以得到非常漂亮的向量表示式 DV 2 ρ--- = -▽P + ρg + μ▽ V ----eq(5) Dt eq(5) 就是着名的Navier-Stoke eq. 这个东西是在说什麽？ 我们一个一个来解释 乡民就比较能了解意义 ρDV/Dt 是 流体的惯性力 ρ是密度 在流体力学里面有严格的定义 △m 来自於微积分的极限定理 ρ = lim ----- where △V→ε △V→0 △V 当ε是分子尺度时候 上面都不试用 当ε接於实生活尺度 则是用 当ε"接近" 或介於上述二者 则属於介观力学范畴 这边不讨论 有兴趣google 惯性力我想大家都知道 想成F=ma的ma就是了 第二个是连体里面本身的压力性质 -▽P 为什麽会有负号单纯是定义而已 如果是单纯分子间 因为没有面积 所以没有这个问题 连体因为有面积与吸引交互作用力 所以会有这项 可以想像现实生活中 大气有压力而海里面也有压力 无所不在 连结这部份的力学也是介观力学的问题 不过这部份很直接的可以看出 第三项ρg 物体力 这项的意义是说在惯性座标底下 物体本身受到的惯性力 因为分析的范围大多在地球内 所以g为重力的影响就放在这边 但是如果是在非惯性座标底下的流体 这边就会变 反正 不会有人问你我在快速选转的木马上的一杯水上面的受力怎样怎样 大概懂就好 第四项 μ▽^2 V 黏滞力 这个最重要 他说明了流体本身黏滞性质对其他力的影响有多大 每一肿流体本身的黏滞系数不一样 好比同一个容器液体 水与浆糊 轻轻在水表面滑一下 跟一样的力道在浆糊表面滑一下 後果大家可想而知 越黏的物体越不容意被煽动 就好像狡猾的曹琴默 甄嬛怎麽努力 她还是不会卸下心防 说到这边 那麽 NS eq为什麽那麽重要？ DV 2 ρ--- = -▽P + ρg + μ▽ V 这麽漂亮的NS 我们来多看一下嘛 Dt 如果要我懒人包 他就是F=ma 这种东西 所以重要吗? 当然～ 当然F=ma是以固体或刚体的视角去分析问题的 比如 瘸子小明又出来了 他今天以500N的力推了1000kg的胖妹 试问胖妹产生的加速度为多少？ 但是对於液体 小明质量50kg今天跌倒了 不幸的是他滑倒在水中 试问他是否会溺死？ 上面两个问题的难易度天差地别 分析问题的精准度就在於固体液体的复杂了 更直观的说 NS eq 就是 流体力学里面的牛顿定律 因为液体的性质 造成分析液体需要的工具不能以单纯牛顿力学来解决 他必须考量液体本身的组成以及变形等等问题 建构力学平衡 才能解决 而NS提供了建构基础流体的力学平衡 只是这个力学平衡是 非常高度复杂但合理的方程式 而且还是针对等向性质 牛顿流体(还好现今世界的流体都是这种流体居多) 以上可知 人类对於流体的研究 还卡住呢！？(神：笑你) (乡民：最好是 随便丢进去NS里面不就好了 数学家:干你来解) 有修过工程数学或高等数学 大概会知道为什麽eq(5)那麽重要以及困难了 解决了他 等於掌握了流体的牛顿运动定律 ※ 编辑: harry901 (220.137.161.8), 06/24/2017 03:01:17