作者peterqlin (平平)
看板Physics
标题Re: [问题] 我对有简并能阶的证明哪里错了Orz
时间Thu Oct 13 00:22:45 2016
※ 引述《Philethan (PE)》之铭言：
: 【出处】(习题或问题的出处)
: Sakurai Quantum Mechanics 第一章第17题
: 【题目】(题目的文字叙述，如有图片亦可提供图片)
: Two observables A1 and A2, which do not involve time explicitly,
: are known not to commute,
: [A1,A2] \neq 0
: yet we also know that A1 and A2 both commute with the Hamiltonian:
: [A1,H] = 0, [A2,H] = 0.
: Prove that the energy eigenstates are, in general, degenerate. Are
: there exceptions? As an example, you may think of the central-force
: problem H=p2/2m+V(r), with A1 →Lz,A2 →Lx.
提供一个我自己觉得还不错的方法 (自己讲XD)
虽然不是要帮原PO想卡关的地方@@
Notation: A_1 -> A; A_2 -> B.
Suppose that the energy eigenstates are not degenerate. Since [A, H] = 0, we
can find a common eigenbasis {|a_i>} of which the corresponding energies
E_{a_i}'s are different. Also, we have [B, H] = 0, which implies the existence
of a common eigenbasis {|b_j>}. Since [A, B] != 0, we know that |b_j> is not
an eigenstate of A in general. Instead, it should be written as a linear
combination of |a_i>'s. However, a linear combination of the energy eigenstates
from different eigenspaces is generally not an energy eigenstate, which
contradicts with the assumption that |b_j> is an eigenstate of H. Thus, we know
that there should be some degeneracies in the energy spectrum of H.
有时候可以考虑用反证法来做题目
会比较好写~
Exception的部分
我不确定他是不是要问是否有nondegenerate的eigenstate存在
如果是的话
我们可以考虑一个简单的model：
H = S_1 · S_2
其中total S_z, S_x都跟H commute并且互相不commute
Energy eigenstate会有triplet的3个state跟singlet的1个
而singlet就是nondegenerate的
: 也请看一下附件，内有完整题目与我的详细作法
: https://www.dropbox.com/s/m6ab8zoo0ay6f9d/ask.pdf?dl=0
: 【瓶颈】(解题瓶颈或思考脉络，请尽量详述以利回答者知道要从何处讲解指导)
: ---稍微说明一下我的作法---
: 我先假设一个Hamiltonian的特徵值方程式，接着藉由[A1,H]=[A2,H]=0，
: 来推得另一个特徵值方程式，如此一来，应该就能接着讨论它们具有
: 相同特徵值，但特徵态却不同的情况，也就是能阶具有简并态的情况。
: 不过，就在我讨论到(5)时..我认为，如果|Φ〉与|ψ〉是不一样的特徵态，
: 那麽它们就不能具有倍数关系，也就是(5)的结论。因此，我最後得出，
: 「如果|ψ〉不是A的特徵态，但又恰好是Hamiltonian的特徵态，那麽
: A|ψ〉就会是|ψ〉的简并态，其中A可代换为A1或A2。」
: 这规则是正确的吗？囧...
: --------------------------
: 今天跟同学讨论後，发现我的(4)似乎不能推得(5)。我後来仔细想想，
: 我觉得我是为了让(4)成立，并且能阶具有简并，所以才不得不得出(5)
: 的结论。这也是为什麽後面我整理出一个规则的原因。
: 简单来说，我还是不明白为什麽我到目前为止的推理是错的 QQ
: 不好意思一直麻烦我同学，所以上来发问了，还请各位大大帮忙一下，谢谢Orz
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作者 KyrieIrving1 (骑士少主) 看板 C_Chat
标题 [闲聊] 近十年哪些作品有资格争神作??
1F：推 king786945: AZ09/18 23:35
2F：推 DsLove710: 熊巫女09/18 23:35
3F：推 jkl852: 迷家09/18 23:35
4F：推 ChrisDavis: Seed-Destiny09/18 23:35
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 118.168.234.101
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5F：推 Philethan: 推推！！！！！10/13 00:30
※ 编辑: peterqlin (223.136.176.140), 10/13/2016 02:15:25
6F：→ wohtp: particle on a torus不好吗？为什麽大家都要扯到角动量...10/13 13:32
7F：→ wohtp: 零动量基态就是non-degenerate eigenstate.10/13 13:34
8F：→ Vulpix: flat torus吗？要举出time-conserved noncommute A1、A210/13 17:00
9F：→ Vulpix: 大概有一点难度吧。P_x,P_y都commute啊...(因为要[A,H]=0)10/13 17:02
一般来说，对於正在修量力的学生而言，spin model应该是比较好理解的吧
而且我举的Hamiltonian可以写成一个4x4的矩阵
对角化之後可以很直接地看出的确有nondegenerate eigenstate存在
就现阶段而言，我想这样其实已经足够了
※ 编辑: peterqlin (140.112.25.105), 10/13/2016 18:19:26
10F：→ wohtp: 啊对不起没注意到不可以commute...10/13 18:27
11F：→ Philethan: 感谢学长相助><!! 明後天再好好思考一次，真的感谢^^10/13 20:42
12F：→ yyc2008: [A, H] = 0 谁说就不能有简并态? E_{a_i}是不同的 这个出10/15 01:26
13F：→ yyc2008: 发点就有问题10/15 01:26
s
请看第一句
我有先假设H没有degeneracy
然後後面证明在这个条件下会产生矛盾
所以energy spectrum里必然存在degeneracy
※ 编辑: peterqlin (223.137.45.232), 10/15/2016 06:56:57
14F：推 Vulpix: 好像可以修改成：假设H非简并，又[A1,H]=0，所以H的 10/15 20:04
15F：→ Vulpix: eigenket都是A1的eigenket，即A1被H的eigenket对角化。 10/15 20:05
16F：→ Vulpix: 同理，A2也与A1同时被H的eigenket对角化。=>[A1,A2]=0矛盾 10/15 20:06