作者phs (世故人情情难还...)
标题Re: [问题] 热统计物理
时间Tue Sep 27 19:03:41 2016
※ 引述《benny30912 (绽放笑颜)》之铭言：
: ※ 引述《phs (世故人情情难还...)》之铭言：
: : 3. k_B*T为能量单位, u为内能亦为能量单位, 而1/v与u单位一致(由2结果看出)
: : 因此可假设 c1*k_B*T = c2*u + c3*1/v , 其中c1,c2,c3为常数
: 解题的时候脑筋太死了，转不过来，没有想到有这种处理方法，
: 解法我大概懂了，
: 有个问题请教一下，如何确定c1,c2,c3会是常数呢？
从单位上来看，顶多可以得到c1,c2,c3/a是无因次量，
: 但无因次量未必就一定是常数，
: 想请教一下要如何判断呢？
答: 抱歉更正,1/v的单位不是能量, a/v的单位才是能量
(由 P = k_B*T/(v-b) - (a/v)(1/v)可看出 a/v的单位与k_B*T相同)
所以应该假设 c1*k_B*T = c2*u + c3*a/v,之後解法同我上一篇解法,
但结果变为c2=c3.
k_B*T, u, 及a/v 这三个物理量的单位已知都同样是能量单位了,
所以它们之间存在的就只能是线性关系,而c1,c2,c3就是它们之间线性
关系的比例常数, 这里指的比例常数(或者说是比例系数)当然会因系统
不同而不同,不会是一个固定的值
4. 由 ds =(1/T)du + (P/T)dv
: : = [ck_B/(u + a/v)]du + [k_B/(v-b)-ack_B/(uv^2 + av)]dv
: : 两边做积分得到
: : s = s_0 + S[ck_B/(u + a/v)]du + S[k_B/(v-b)-ack_B/(uv^2 + av)]dv
: : ~
: : (积分符号)
: : = s_0 + ck_B*ln(u + a/v) + k_B*ln(v-b) - ack_B*S[1/(uv^2 + av)]dv
: : = s_0 + ck_B*ln(u + a/v) + k_B*ln(v-b) - ack_B*(1/a)ln[1/(u + a/v)]
: --------------------------
: 请问这边是怎麽积出来的
: 我的算法是-S(ack/(uv^2+av))dv
: =-ack/u*S(1/(v^2+(a/u)v))dv
: 由部分分式，1/(v^2+(a/u)v)=u/a*(1/v-1/(v+(a/u)))
: 所以积分结果变成-ack/u*u/a*ln(v/(v+(a/u)))
: 整理变成ck*ln(u+a/v)-ck*ln(u)
: ---------
: 会多出这一项
说明: 积分 S[1/(uv^2 + av)]dv
因为 1/(uv^2+av) = (1/v)*1/(uv+a) = (1/a)[1/v - u/(uv+a)]
所以 S[1/(uv^2 + av)]dv = (1/a)S[1/v - u/(uv+a)]dv
= (1/a)[ln(v) - ln(uv+a)]
= (1/a)ln[v/(uv+a)] = (1/a)ln[1/(u + a/v)]
= -(1/a)ln(u + a/v)
注: 这里的积分常数皆忽略,因为都吸收到initial entropy s_0去了
: 非常感谢你的回答，在解热统计的时候，
: 常常会搞不清楚一些步骤到底在数学上成不成立，
: 例如4.的积分式我就会搞不清楚在对u积分的时候，
: 到底能不能把v当作常数之类的，
: 我做的时候是当作可以啦...不过没有办法想得很清楚
答: 由全微分 ds = (@s/@u)du + (@s/@v)dv 来看
这里面意味着s中含有u和v两个自变数,而这两个自变数是视为各自独立的,
所以当你做偏微分 @s/@u 时, v视为常数; 同理在做偏微分 @s/@v 时, u视为常数
但要注意的是, 若是@s/@u 及@s/@v这两个函数皆含有u及v两个变数时, 不可在ds的
全微分方程式中,直接两边同时积分来求出s, 理由是因为当你在做积分
S ds = S(@s/@u)du + S(@s/@v)dv 时, 等式右边第一项中v被视为常数,而
第二项中u被视为常数, 这两件事情是不能在一个方程式中同时成立的
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※ 编辑: phs (118.165.154.144), 09/27/2016 19:16:32
1F：→ wohtp: 补充一下，因为问题里面凑不出其他独立的无因次量了，所以 09/27 19:08
2F：→ wohtp: 那三项只好都是常数 09/27 19:09
3F：→ wohtp: 这个就是看你相不相信目前台面上的物理量已经足够描述你要 09/27 19:10
4F：→ wohtp: 解决的问题。 09/27 19:10
5F：→ wohtp: 信心的来源很多种，例如这是习题所以你可以假设老师不会错 09/27 19:12
6F：推 benny30912: 我好像有点感觉了，另外我知道我和你的积分差在哪里了 09/27 22:17
7F：→ benny30912: ，因为我在部分分式的时候把u约分掉了，本来约不约分 09/27 22:18
8F：→ benny30912: 的差别会吸收到常数项，但是因为没注意到u在这应该当 09/27 22:18
9F：→ benny30912: 作常数u0就保留下来了。 09/27 22:18
10F：→ benny30912: 再次感谢你们，等下周老师检讨有想法再和大家分享 09/27 22:20
11F：→ phs: 记得问你们老师第4小题ln里面最後面那个是不是应该是2c次方 09/27 23:23
12F：→ phs: 不好意思我搞错了,第4小题目答案没错,是c次方 09/28 10:02
※ 编辑: phs (36.227.37.177), 09/28/2016 13:13:38
※ 编辑: phs (36.227.37.177), 09/28/2016 17:12:42
※ 编辑: phs (36.227.37.177), 09/28/2016 17:13:45
13F：推 benny30912: 我了解了，感谢修正，果然不仔细考虑很容易出错~.~ 09/28 18:58