引力场的量子化及其局限性 作者：李学生发布时间：2016-05-18 15:42:35 引力场的量子化及其局限性 二十世纪理论物理学面临的一个主要困难，可以用两个字概括，那便是发散…….发散是 量子场论中的基本困难.起初人们相信如果狭义相对论是正确的，那麽量子力学的形式就 应该适当地加以修改.因为从狭义相对论的观点来看，薛定谔方程是明显非洛仑兹协变的. 笼统地说，其中方程对时间求的是一阶导数，而哈密顿算符往往是空间的二阶导数，时间 与空间处於不平等的地位.为了使得量子力学与狭义相对论协调起来，狄拉克等人创立了 量子场论.其场方程，已具有了明显的洛仑兹协变性，同时它不仅可以对点粒子进行描述 ，而且能够对具有广延性质的物质场进行描述，并将其量子化.这本身绝不能被视为仅仅 是量子力学一种简单的推广，同时应看到它本质上的一次飞跃.从物理上看，量子场论能 够描述粒子的产生和湮灭，而这是在量子力学中无法实现的，从数学上看，场论中，系统 的自由度是无数多的，而量子力学主要处理的只能是有限个自由度的系统，这样一种质的 不同，使得两者之间的数学结构，是极不相同的，比如说希尔伯特空间的定义等等.乃至 到今天，量子力学的数学结构是已经很清楚了的，但是量子场论的数学结构，依然是有待 进一步研究的课题. 量子场论中的方程在许多具体问题中已经显得很复杂，乃至无法精确求解.特别是方程中 含有非线性项的时侯.所以至今，量子场论中发展起来的几套比较成熟了的方法，都是以 近似求解为目的的微扰论.这时发散的困难也就体现出来了.其结果是，我们本来期望那样 一些应该越来越小的修正项，相反却是无穷大的.这或是由於积分项中的动量趋向无穷大 而导致的紫外发散，或是由於动量趋向零而导致的红外发散，而前者是量子场论中所遇到 的主要困难. 为了消除这样一些发散项，物理学家引入了一种称之为重整化的方法，部分地解决了这一 难题.其基本思想便是把那样一些发散项吸收到一些基本“常”量中去，而那样一些无穷 大的常量却是我们永远观测不到的.所能观测的只是那样一些经过重整化了的有限大小的 量.但是这样的一种方法并不是对任何一种理论都适用，如果一个理论中的基本发散项随 着微扰的展开越来越多的话，那麽我们就无法将所有的发散项，全部吸收到那样有限的几 个基本常量中去.我们称这样的一种理论是无法重整化的.量子电动力学(QED)很早就被认 识到是一个可重整化的规范理论，而严格证明其它理论是否能被重整化，很长一段时间内 ，是一个没有解决的问题.直到七十年代初，这样的一个难题方被当时还是研究生的特.霍 夫特(t'Hooft)和他的导师攻克.他们证明了当时基於规范理论的其它统一模型，都是可重 整化的.这样的一个工作，给YANG-MILLS理论带来了第二次青春，同时也使得他们荣获了 1999年的诺贝尔物理学奖.至今，人们相信描述强，电弱三种相互作用的量子场论，都是 可以重整化的.但是，描述引力相互作用的量子引力，却是无法重整化.这是当今理论物理 界，面临的一个主要困难.从另外一个角度说，这样的一个困难等价於怎样将量子力学与 描述引力场的广义相对论协调统一起来…… （1）量子引力的产生 虽然量子引力理论的主要进展大都是在最近这十几年取得的，但是引力量子化的想法早在 1930 年就已经由L. Rosenfeld 提出了.从某种意义上讲，在今天大多数的研究中量子理 论与其说是一种具体的理论，不如说是一种理论框架，一种对具体的理论——比如描述某 种相互作用的场论——进行量子化的理论框架.广义相对论作为一种描述引力相互作用的 场论，在量子理论发展早期是除电磁场理论外唯一的基本相互作用场论.把它纳入量子理 论的框架因此就成为继量子电动力学後一种很自然的想法. 1920 年，韦尔提出了一个将电磁场和引力场联系起来的电磁场几何化的理论，他的基本 想法是：把电磁场与空间的局部度规不变性联系起来.韦尔的理论不仅没有得到学术界的 认可，而且也与实验结果不符.之後，瑞尼契、惠勒、米斯纳等人也作了很多将电磁场几 何化的尝试，都没有获得成功.人们也曾试图将引力场进行量子化，并从中寻求引力场与 电磁场的本质联系，企图用量子论的方法实现引力场与电磁场的统一. 通常经典场论的内容主要包括经典电磁场论即经典电动力学和经典引力场论两个部分，前 者指麦克斯韦的电磁场理论，後者指爱因斯坦的广义相对论.已知场是物质的基本形态， 经典电动力学已发展为量子电动力学，那麽很自然地爱因斯坦的广义相对论，即相对论性 的经典引力场论也应发展为量子广义相对论或量子引力场论.既然量子电磁场的基态称为 电磁真空态，基态的量子电磁场称为量子电磁真空；那麽量子引力场的基态就应称为引力 真空态，基态的量子引力场就应称为量子引力真空. 科学家们引入引力场量子理论——“引力子”理论.根据电磁场量子理论，物质间的相互 作用（吸引或排斥）是通过交换电磁场量子——光子实现的.由於电磁力和万有引力都是 长程力，与距离的平方成反比，人们通过类似的方法把引力场量子化，把引力场量子叫做 引力子，常用符号ｇ表示，引力子具有波粒二象性.引力场和其他场物质可相互转化，如 电子和正电子湮灭时，除以产生光子的方式进行外，还可能以产生两个引力子的方式进行 .人们还推测，引力子的静止质量为零，电荷为零，是自旋为２的以光速运动的玻色子.长 期以来，人们力图通过探测引力波的存在证实引力场理论.但由於万有引力太弱，相应引 力子的能量比光子小的多，探测非常困难.引力波是否存在，是一个极重大的理论与实验 问题，科学家在确认引力波存在的问题上，采取极谨慎的态度，并继续从各方面探测引力 波.此外，人们还设计出能发射引力波的装置.研究引力波，对进一步认识物质的结构和本 性，促进科学技术的发展有重要的意义. （2）协变量子化和正则量子化 引力量子化几乎是量子化方法的练兵场，早期的尝试几乎用遍了所有已知的场量子化方法 .最主要的方案有两大类：协变量子化和正则量子化.它们共同发源於1967年B. DeWitt题 为"Quantum Theory of Gravity"的系列论文.协变量子化方法试图保持广义相对论的协变 性，基本的做法是把度规张量g μν分解为背景部分g μν和涨落部份h μν :g μν = g μν + h μν ,不同的文献对背景部份的选择不尽相同，有的取Minkowski背景度 规η μν，有的取量子有效作用量(quantum effective action)的解.这种方法和广义相 对论领域中传统的弱场展开方法一脉相承，思路是把引力相互作用理解为在一个背景时空 中引力子的相互作用.在低级近似下协变量子引力很自然地包含自旋为2的无质量粒子：引 力子. 　　由於这种分解展开使用的主要是微扰方法，随着20世纪70年代一些涉及理论重整化性 质的重要定理被相继证明，人们对这一方向开始有了较系统的了解.只可惜这些结果基本 上都是负面的.1974年，G. 't Hooft 和M. Veltman 首先证明了在没有物质场的情况下量 子引力在单圈图(1-loop) 层次上是可重整的，但只要加上一个标量物质场理论立刻变得 不可重整.12年後MH Goroff 和A. Sagnotti 证明了量子引力在两圈图(2-loop) 层次上是 不可重整的.这一结果基本上结束了早期协变量子引力的生命.又过了十二年，Z. Bern 等 人证明——除了N = 8 的极端情形尚待确定外——量子超引力也是不可重整的，从而连超 对称这根最後的救命稻草也被铲除了.早期量子引力理论，即量子力学和广义相对论相结 合的量子引力出现的发散困难无法消除，即不能重正化，可以说至今还没有一个十分完满 的量子引力理论.但是这并未妨碍人们热情地探索引力场量子化的工作，而且还取得了相 当的成功. 与协变量子化方法不同，正则量子化方法一开始就引进了时间轴，把四维时空流形分割 为三维空间和一维时间(所谓的ADM 分解)，从而破坏了明显的广义协变性.时间轴一旦选 定，就可以定义系统的Hamilton 量，并运用有约束场论中普遍使用的Dirac 正则量子化 方法.正则量子引力的一个很重要的结果是所谓的Wheeler-DeWitt 方程，它是对量子引力 波函数的约束条件.由於量子引力波函数描述的是三维空间度规场的分布，也就是空间几 何的分布，它有时被称为宇宙波函数， Wheeler-DeWitt 方程也因而被一些物理学家视为 量子宇宙学的基本方程.1967年，B.德韦特(DeWitt)应用狄拉克正则量子化方法，对引力 进行量子化.1968年，J.惠勒(Wheeler)和C米斯纳( Misner)加以发展完善，给出一个类似 於薛定谔方程的宇宙波函数方程.这个动力学方程就是惠勒.德韦特(WDW)方程，从此量子 宇宙学兴起.後来人们把以WDW方程为核心内容的量子宇宙学称为旧量子宇宙学. 与协变量子化方法一样，早期的正则量子化方法也遇到了大量的困难，这些困难既有数学 上的，比如Wheeler-DeWitt 方程别说求解，连给出一个数学上比较严格的定义都困难； 也有物理上的，比如无法找到合适的可观测量和物理态. 在建立量子引力理论的途径中，主要出现有两种走向.一种是把量子力学只和广义相对论 即引力作用结合起来，这称为纯引力的量子理论，或量子引力场论，例如半量子引力、圈 量子引力等属於此种.另一种是受了粒子物理标准模型的启发，试图把广义相对论和电磁 、弱及强三种作用统合起来，形成所谓的四种作用的超统一理论，例如超引力和超弦/M理 论等属於此种.由於这两种类型的理论，都是有关引力作用的量子理论，所以人们把它们 都称为量子引力理论. 由於WDW方程是一个泛函微分方程，在，就必须对宇宙波函数实施边界条件或初始条 件，而这些却是十分艰难的工作.於是人们试图运用量子引力的欧几里德路径积分变换， 这是因为此种方法在闵可夫斯基时空量子场论中是一种有效的计算技巧.量子宇宙学经过 艰难的一段停滞後，1979年，S.霍金(Hawking)引进了可由欧几里德路径积分形式表示的 跃迁振幅， 这种形式的量子宇宙学，称为新量子宇宙学.在新量子宇宙学中，主要由於宇 宙边界条件的差异，出现了哈特尔.霍金和维连金两种不同方案.1983年，J.哈特尔 (Hartle)和霍金提出宇宙无边界假设，通过引入欧几里德函数积分，把正则量子化方法和 路径积分量子化方法结合起来，给出了合理的波函数，从而确定了所谓宇宙的量子态 .1985年，A.维连金(Vilenkin)提出宇宙隧道边界条件，认为我们宇宙是从无(Nothing)量 子隧穿效应而产生的，波函数仅由在超空间部分的外向模所构成.无论是哈特尔一霍金的 新量子宇宙学，还是维连金的新量子宇宙学，都给出了我们宇宙量子态的波函数，这两种 方案都有其成功和不足的. 　 （3）圈量子引力真空 圈量子引力是当前正则量子引力的流行形式,正则量子引力是只有引力作用的量子引 力理论，它的基本概念是应用标准量子化手续於广义相对论，而广义相对论则写成正则的 哈密顿形式.根据发展正则量子引力大体上可分为朴素量子引力和圈量子引力.粗略说来， 前者发展於1986年前，後者发生於1986年後.朴素量子引力由於存在着发散困难即不能进 行重正化，从而圈量子引力发展成为当前正则引力的代表. 基态的量子引力场是量子引力真空，量子引力场的基态是量子引力真空态.由於作为 物质存在形式的空间时间，在一定意义上而言，实际上就是可看作引力真空的空间时间. 所以我们研究量子引力真空的时空性质，也就是要研究在普朗克标度下真空的空间时间的 物理性质. 1986 年，A.阿希泰卡尔（Ashtakar）研究了A.森（Sen ）提出的广义相对论引力场 方程的精致形式，这形式的方程已经表述了广义相对论的核心内容.1987年，他给出了广 义相对论的流行形式，从而对於在普朗克标度的时空几何量，可以进行具体计算，并作出 精确的数量性预言.这种表述是此後圈量子引力进一步发展的关键. 1990 年，C.罗维利（Rovelli）和J.斯莫林（Smolin）研究得出在普朗克标度，空间 具有几何断续性，而这些编织态，在微观尺度上具有真空泡沫即时空泡沫的形式.1994年 ，他们第一次计算了面积算子和体积算子的本徵值，得出它们的本徵谱为断续而非连续的 重大结论. 　 （4）超引力量子真空 超引力是具有超对称性的引力理论.所谓超对称性，是指把费米子和玻色子联系在一 起的一种扩大对称性，它同时也将内部对称性和彭加勒（Poincare）不变性联系了起来. 在超引力理论中，引力是通过超对称局域化而产生的，所以又称为定域超对称性. 1976 年，D.弗里得曼（Freedman），P.纽温休泽恩（Nieuwenhuizen）和F.菲赖拉（ Ferrara）等人提出超引力，认为超对称定域化可导致超引力.1980年，P.弗里翁德（ Freund）、M.鲁宾（Rubin ）利用高维时空的场结构解决了高维时空如何变为四维时空和 内部空间的直积这样的真空态结构.1983年，M.安瓦达（Awada）、M.达夫（Duff）和C.波 普（Pope）证明了11维超引力在7维扁球上紧致化，可给出具有N＝1超对称的真空解.1984 年，I.盖姆派耳（Gampell）、P.外斯（Wess）和P.豪依（Howe）等人在10维时空中得出 有三种超引力理论的结果，其中有两类是非手徵超引力，另一类是手徵超引力.但真空结 构形式为M[，5]times;M[，5]，而不是M[，4]times;M[，6]. 1985年，T.鲁布（Robb）和 J.泰勒（Tayler）用通常的弗里翁达鲁宾假设略为差别的方案，首次得到了M[， 4]times;M[，6]的真空结构解.同年，纽温休泽恩和N.瓦奈尔（Warner）给出真空态结构 非直积的形式.值得指出，在超弦理论建立後，人们知道10维超引力真空乃是超弦真空的 特殊情况. 　 　（5）超弦/M理论真空 超弦/M理论由超弦理论和M理论组成，它是当代量子引力的最佳候选者.当今量子引力 除超弦/M理论外，还有圈量子引力、拓扑场论、欧几里得量子引力、扭量理论等.超弦/M 理论的目的，在於提供已知四种作用即引力和强、弱、电相互作用统一的量子理论. 弦理论虽然在20世纪70年代中期，已知其中自动包含引力现象，但因存在一些困难， 只是到80年代中期才取得突破性进展.弦理论发展可粗略分为早期弦理论（70年代）、超 弦理论（80年代）和M理论即膜理论（90年代後）三个时期. 10 维超弦理论建立於20世纪80年代中期，人们称为弦理论的第一次革命，有五种独 立微扰超弦真空.M理论是作为10维超弦理论的11维推广，它包含多种维数的物质实体膜（ brame），1维弦、二维普通膜只是它的两个特例.M理论是20世纪90年代兴起的，人们称为 弦理论的第二次革命.M理论的超统一真空，把超引力的11维真空和五种超弦10维真空作为 低能极限情况统一在其中.这是四种作用统一量子理论发展中十分令人鼓舞的重大突破. 对超弦/M理论真空研究的雄心勃勃，还在於探讨我们宇宙真正的真空结构， 即我们宇 宙四种基本作用统一的、非微扰的、原初的超统一真空的具体形式.根据这个初始基态解 ，人们就可以期望从第一原理来计算我们宇宙的基本参量，从而获得我们宇宙的整体结构 、创生及演化基本规律的深入认识. 在超弦/M理论宇宙学中， 人们认为我们最初的膜世界是由永恒宇宙真空的量子涨落而 来.1999年，L.兰德尔（Randell）和R.桑德拉姆（Sundrum）提出我们宇宙的一个五维膜 世界模型[11]，其中空间额外维度是7维的，有6个维度是紧致的，剩1个是非紧致的.这就 是说，我们世界是D[， 3] times;R[1]（时间）被嵌入在Ads[，5]中，它的1个额外维度 是非紧致的.2001年，P.斯坦哈特（Stainhart）和T.特鲁克（ Turok）提出火劫/循环（ Ekpyrotic/Cyclic）膜世界模型，此模型认为我们宇宙是在一个高维空间中的许多D膜之 一，这些D膜彼此间有引力作用，随机地会发生碰撞.大爆炸就是另外一个D膜碰撞到我们 宇宙这个D膜的结果. 综上所述可知，爱因斯坦在创建相对论後提出的一无所有的空间，即原初所谓的真空 概念是没有意义的论断，空间时间是不可以脱离物质世界的真实客体而存在的东西等思想 是极为深刻的，它影响着现代物理学真空理论的发展过程.20世纪基础物理学的真空理论 ，实质上是量子的.当今量子真空理论正在蓬勃地发展，真空是基态的量子场，量子场的 基态是真空态，这些观念已经逐步被人们所接受.量子真空物理在实验、理论和哲学义理 诸方面，同样取得很大的进展.可以预见经过若干年的刻苦研究，21世纪物理学四大问题 之一的真空结构困难，是不难获得重大突破的. 空间量子化曾经是许多物理学家的猜测，这不仅是因为量子化这一概念本身的广泛应用开 启了人们的想像，而且也是因为一个连续的背景时空看来是量子场论中紫外发散的根源 .1971年R. Penrose 首先提出了一个具体的离散空间模型，其代数形式与自旋所满足的代 数关系相似，被称为spin network.1994年Rovelli 和Smolin 研究了Loop Quantum Gravity 中的面积与体积算符的本徵值，结果发现这些本徵值都是离散的，它们对应的本 徵态和Penrose 的spin network 存在密切的对应关系.以面积算符为例，其本徵值为： A = Lp2 Σl [Jl (Jl + 1)]1/2，式中Lp 为Planck 长度，Jl 取半整数，是spin network 上编号为l 的边所携带的量子数，求和Σl 对所有穿过该面积的边进行.这是迄 今为止有关Planck 尺度物理学最具体的理论结果，如果被证实的话，或许也将成为物理 学上最优美而意义深远的结果之一. Loop Quantum Gravity 因此也被称为量子几何 (QuantumGeometry).对Loop Quantum Gravity 与物质场(比如Yang-Mills 场) 耦合体系 的研究显示，具有空间量子化特徵的Loop Quantum Gravity 确实极有可能消除普通场论 的紫外发散. （6）量子引力对於黑洞热力学的研究 迄今为止对量子引力理论最具体最直接的“理论证据” 来自於对黑洞热力学的研究.1972 年，Princeton 大学的研究生JDBekenstein 受黑洞动力学与经典热力学之间的相似性启 发，提出了黑洞熵的概念，并估算出黑洞的熵正比於其视界(Event Horizon) 面积.稍 --

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