在友人脸书看到的大一普物问题： 物体 A、B 静止於直线，各距离原点 R、-R ，质量均为 m ，因万有引力而相吸，求物体 A 经过时间 t 的 v(t) 之方程式。 我的想法是： 速度可以从加速度对时间积分求得 v(t) = ∫a(t)dt......(1) 而根据牛顿第二运动定律 a(t) = F(t) / m......(2) 假设A的位置函数是x(t), AB间距就是 2*x(t) 还有位移速度加速度之间的关系是 v(t) = x'(t) a(t) = v'(t) = x"(t) 根据万有引力定律 F(t) = - (G*m*m) / [(2*x(t))^2]......(3) 把(3)代入(2)再代入(1) v(t) = -0.25*G*m* ∫[1/(x(t))^2]dt 然後有两个初始条件@t = 0 x(0) = R v(0) = 0 这样列式不晓得正不正确 @@ 另外，也可以从能量观点： 假设A在时间t的位置是 x(t) 时间t0的重力位能 - 时间t的重力位能 = 时间t的A动能 + 时间t的B动能 -G*m*m/2R - [-G*m*m/(2*x(t))] = m*[v(t)]^2 v(t) = sqrt{0.5*G*m*[(1/x(t)) - (1/R)]} 不是积分(第一种算法)就是根号，看起来都很麻烦...orz 学长说： 亦可以用 dimension analysis : 假设此质量有一特徵长度 X 及特徵时间 T 重力表现应是反比於 X^2 而加速度应是 X/T^2 两者应是同样的dimension，所以1/X^2 ~ X/T^2 所以X ~ T^(2/3) ，因此可假设 x(t) =C1 t^(2/3) + C2 代入初始条件解出 C1 & C2 但假设x(t) = c1*t^(2/3) + c2的话 x(0) = R 得 c2 = R 不过 x'(0) = 0 就算不出c1了 然後估狗到台大普物李文忠出过类似的考题... 但只有题目 = = https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/NTU-Exam/M.1294993644.A.500.html -- posted from bbs reader hybrid on y asus ASUS_Z00AD --

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