作者Philethan (PE)
看板Physics
标题[问题] 量物-Normalization附带的假设？
时间Wed Sep 9 11:17:26 2015
【出处】(习题或问题的出处)
证明 Ehrenfest's theorem 时想到的问题，现在在读 Griffiths 的书
【题目】(题目的文字叙述，如有图片亦可提供图片)
Calculate d〈p〉/dt
【瓶颈】
问题一：
http://i.imgur.com/hmDnK4N.jpg
根据网路上的解答，
http://goo.gl/F0tlDI，我发现必须假设（？）
∂Ψ
limit ------ = 0
x -> inf ∂x
才能用按照我的思路推出 Ehrenfest's Theorem，有办法用数学证明上式必然成立吗？
问题二：
这也让我想到 Griffiths 在前面提到的
「But Ψ(x,t) must go to zero as x goes to (+-) infinity - otherwise the
wave function would not be normalizable.」
它藉由这点证明 Schrodinger Equation 可以保有正则化—normaltization is indep.
of time—的性质。Griffiths 在附注提到「A good mathematician can supply you
with pathological counterexamples, but they
do not arise in physics」，我
就姑且称这为「物理学家的直觉」吧。
他的附注说「存在着数学上的反例」，但在原文中又提到「否则波函数将无法正则化」，
所以他的意思是不是，其实数学上可以找到一反例使得「正则化仍然成立」，只是我们
这些物理学家不太能接受？因为违反某些物理直觉之类的。
问题三：
我有在 PhyiscsForum 找到同样问题的讨论：
https://goo.gl/3MKbzA
前面几个回覆都看得懂，总之就是数学上存在着反例，但原PO於最後的回覆让我不解..
「... I just realized that from the time independent Schrodinger equation,
if we require the potential energy to be bounded at infinity, then
2 2
∂Ψ/∂x must approach 0 as x approaches infinity if the original function ψ
behaves that way.
Then, by mathematical arguments involving
the mean value theorem, I believe
that implies ∂Ψ/∂x approaches zero as x approaches infinity also.」
该如何得知「若位能为有界，则波函数二次导数於X趋近无限大时，必趋近零」？
後面提的「根据均值定理，我相信波函数一次导数於X趋近无限大时，必趋近於零」又
是为什麽呢Orz
感谢你读完我的问题!!
（偷问一下，有人有Carter解答吗QAQ）
--
我的想法：
http://www.ethanideas.url.tw
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 101.14.201.156
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1441768650.A.4C2.html
※ 编辑: Philethan (101.14.201.156), 09/09/2015 11:24:25
1F：推 jameskey: 我知道你了，你是那个要读哲学所的物理系学生，我觉得 09/09 11:38
2F：→ jameskey: 你问的问题，我还蛮有兴趣，怎麽删文了ob'_'ov 09/09 11:39
嗯...嗨你好，这个嘛，因为我还满玻璃心的QQ（我知道这麽说会很怪，不过应该可解释）
我想你应该可以想像，我的目标不仅在台湾不是主流（少＄），在物理学界也不是主流。
因此，一路走来已经听太多质疑我的「毅力」、「决心」、「实力」等等的声音，老实
说我满厌倦的了。上次PO文後，当然会有好心网友提醒我这是很困难很少人做等等的..，
但每当我一直跟不同人重复解释「是的，我明白，因为如何如何，所以我深信我有决心
与勇气」时，我就觉得很沮丧。真正要问的东西没有人回答，但倒是被泼了不少自称为
「关心建议」的冷水，所以我说我玻璃心:P 嗯...
3F：推 j0958322080: carter很简单所以好像很少人有解答 09/09 12:02
是哦@@
4F：推 HAL10000: 正ㄧ大大欸 09/09 12:46
嗨你好@@
5F：→ recorriendo: 薛丁格方程 Ψ''=(E-V)Ψ -> 0 09/09 13:17
啊对喔，我忘记这点了XD 我还不熟悉非时变薛丁格方程式分离变数後的相关讨论，
感谢指点！！
6F：推 wtfmap: wave function是 square-integrable 要代表有物理意义 09/09 14:23
7F：→ wtfmap: 的particle 它必须go to zero at +-inf. 09/09 14:23
我在文中提的 PhysicsForum 讨论串有提到一个 square-integrable 但当 x->inf，极限
不存在的例子：
Ψ(x) = 1 for x in [n, n+1/n^2]
Ψ(x) = 0 elsewhere
如果物理意义指的是满足 square-integrable，那麽这是有物理意义的。
如果物理意义指的是满足我们这些物理人的直观、想像与洞察，那可能没物理意义？..
8F：→ recorriendo: 数学上可证: 如果lim(x->oo)dΨ/dx存在则其=0 09/09 14:35
WOW 反证法的逻辑解释！
另外就是，该如何证明「若 lim(x->oo)∂Ψ/∂x存在，则 lim(x->oo)∂Ψ/∂x=0」？
10F：→ recorriendo: 反例就是: lim(x->oo)dΨ/dx可能不存在 就算在Ψ squ 09/09 14:37
11F：→ recorriendo: are-integrable的条件下 09/09 14:37
嗯，所以.......okay，目前我想谈的是极限存在的情况XD 有相关文献吗？
不好意思，虽然这可以自己查，不过现在有点忙碌...题目还没写完QAQ 非常谢谢你！！
※ 编辑: Philethan (101.14.201.156), 09/09/2015 15:01:07
12F：→ recorriendo: Ψ=sin(x^2)/√(1+x^2) 这是square-integrable,连续, 09/09 15:37
13F：→ recorriendo: 有界 可是dΨ/dx在x->oo时做不衰减震荡(极限不存在) 09/09 15:39
14F：→ recorriendo: 这个Ψ是物理上无法接受的情况吗? 至於Ehrenfest定理 09/09 15:42
15F：→ recorriendo: 怎麽半 我也不知道XD 交给其他物理专家了 09/09 15:42
16F：→ Philethan: 囧XD 谢谢你啦!! 09/09 15:43
17F：→ recorriendo: 那个stackexchange连结里就有"若lim(x->oo)Ψ'存在则 09/09 15:47
18F：→ recorriendo: lim(x->oo)Ψ'=0"的证明 (连结里的记号是F不是Ψ) 09/09 15:48
19F：→ Philethan: ....我刚好像点去讨论反证法的页面了XD 感谢，现在来 09/09 15:54
20F：→ Philethan: 看看 09/09 15:54
21F：→ wohtp: r大，你觉得你那个psi的能量是什麽？ 09/09 18:44
22F：→ wohtp: 如果Hamiltonian里面有导数项，这样的量子态就不在physical 09/09 18:45
23F：→ wohtp: spectrum里面 09/09 18:45
24F：→ wohtp: 既然能量太大，永远摸不到碰不着，那跟不存在是一样的 09/09 18:48
25F：→ recorriendo: 不是喔 Hamiltonian里没有导数项 是原PO的积分里如果 09/09 19:37
26F：→ recorriendo: 要用分部积分需要有dΨ/dx at infinity=0 09/09 19:38
27F：→ wohtp: 我看到 d<p>/dt，然後我看到右边没有半个t的导数，原po难道 09/09 19:49
28F：→ wohtp: 不是用薛丁格把 d/dt 换成 H 了吗？ 09/09 19:49
29F：→ wohtp: 然後右边替换进去的项明明就有一堆 d/dx 09/09 19:50
我不是用这方法，因为我没学过...。我用的是很简单的微积分QQ
30F：→ kerwinhui: 物理意义的假设也只是把Ψ想成是Sobolev H^1，离足够用 09/09 19:59
31F：→ kerwinhui: Sobolev imbedding + Morrey 进 C_0 还差 1/2+epsilon 09/09 20:01
32F：→ kerwinhui: (假设 n=3) 09/09 20:01
33F：→ kerwinhui: 要再加上如 V 在 infinity 的 behaviour 才能成功进化 09/09 20:04
34F：→ kerwinhui: 数学上有一些如 strichartz inequalities，不过物理方 09/09 20:08
35F：→ kerwinhui: 面好像没人理会这个问题，反正作出来的potential都没有 09/09 20:09
36F：→ kerwinhui: 这种问题就以为是 universal 了 09/09 20:09
k大推的我都看不懂QAQ
37F：推 sunev: 实验上的universal true和数学上的logically true还是不一 09/10 09:07
38F：→ sunev: 样的 09/10 09:07
同意！
※ 编辑: Philethan (101.14.201.156), 09/11/2015 22:21:02
39F：→ wohtp: 啊？你第一行不是薛丁格方程式是什麽？ 09/13 00:54
40F：→ Philethan: 是薛丁格方程式，但应该没用到你说的「H」.. 09/13 01:25
41F：→ wohtp: 那就是啦，你代进去的是 H = -(d/dx)^2 + V(x) 啊。 09/13 04:56
42F：→ wohtp: 所以H有导数项。若是波函数的导数不收敛到零去，能量就会发 09/13 04:58
43F：→ wohtp: 散。 09/13 04:58
44F：→ wohtp: 我所理解r大之前说的是，你又没讲你的H是什麽，可能根本没 09/13 05:00
45F：→ wohtp: 有导数（动能）项 09/13 05:00
46F：→ wohtp: 所以我说你第一行就已经假设了H的型式 09/13 05:01
47F：→ Philethan: 因为没学过H的用法，所以当然没讲我的H是什麽了 09/13 08:18
49F：→ Philethan: 上面是我的完整过程 09/13 08:23
50F：→ wohtp: 所以Griffith直接告诉你薛丁格方程式是 09/13 16:42
51F：→ wohtp: (i d/dt)Ψ = (-i d/dx)^2 Ψ + V(x) Ψ 09/13 16:43
52F：→ wohtp: 这样子？？ 09/13 16:43
53F：→ wohtp: 我没看过Griffith，但是我很难相信有像样的教科书会这麽写 09/13 16:45
54F：→ wohtp: 薛丁格方程式是 (i d/dt)Ψ = H Ψ 09/13 16:47
55F：→ wohtp: H 的长相基本上就是你的系统的定义 09/13 16:48
56F：→ wohtp: 直接说 (i d/dt)Ψ = [(-i d/dx)^2 + V(x)] Ψ 是薛丁格 09/13 16:50
57F：→ wohtp: 和直接说 ma = -kx 是牛顿第二定律是同样的谬误 09/13 16:51
58F：推 wtfmap: Griffith後面一点给了operator的概念後才使用H形式 09/13 20:31