作者variation ( )
标题Re: [问题] 请问93指考力平衡中 θ角度
时间Sun Aug 16 00:05:51 2015
※ 引述《Elengis (阿成)》之铭言：
: ※ 引述《Elengis (阿成)》之铭言：
: : 【出处】93指考
: : 【题目】一质量m之物体以两根顶点相距L的相同弹簧悬挂起来,两弹簧间的夹角
: : 为2θ(30度>θ>20度), 若弹簧的自然长度亦为L，则弹簧的力常数....
: : 【瓶颈】这边θ<30度是因为弹簧伸长量要大於L，所以L/2sinθ>L sinθ<1/2
: : 所以θ<30度，但是 θ>20度的意义为何? 为何是20度 不是其他角度 例如15度?
: SORRY打太快，
: 重新打一次，θ<30度是因为弹簧伸长後的长度要大於L，
: 所以L/2sinθ>L
: sinθ<1/2
: 所以θ<30度，
: 但是问题在於 θ>20度的意义为何?
: 为何是20度? 不是其他角度!? 例如θ为15度呢?
个人觉得它不是什麽大学才会教的东西或近似
它只是一个外加的限制，让问题比较合乎实际或合理
题目中没有把这个限制指出，因为那不是这题的重点
你可以把角度的方程是整理出来，如下
mg/kL = cot(theta) - 2cos(theta)
你可以用数学软体去解出cos(theta)或(theta)，当然要给定 mg/kL
外加的限制，也就是你要的答案
物理意义上是要求 mg < kL，也就是物重不会使单一弹簧拉长超过本身原长
这样的限制下，上面方程式就是
cot(theta) - 2cos(theta) < 1
改成cos(theta)的方程(x=cos(theta))
4x^4+4x^3-2x^2-4x-1 < 0
如果知道四次方的公式解或有数学软体、工程计算机都可以解出这个等号时的数值
例如在
http://www.wolframalpha.com/
输入Plot[4x^4+4x^3-2x^2-4x-1,{x,-1,1}]，它会画给你上面不等式的左侧
图中小於零的部分就可能的x=cos(theta)
不等式由图中给出的解是 -0.326993 < cos(theta) < 0.94027
加上题目中你已经知道的限制 (theta)<30度，cos(30度)<cos(theta)
取交集则是cos(30度)<cos(theta)< 0.94027
很容易找出 0.94027 = cos(19.9度)
也就是角度被限制在 19.9度到30度之间
这只是多加了上述的条件
当然你可以限制不一样的条件，就有不一样的角度下限
以上只是我的看法，数学部分处理得很快有错请帮忙指出
--
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1F：→ Elengis: 嗯 多谢了 原来隐藏一个条件就是 弹簧拉长不能超过原长 08/16 08:13
2F：→ Elengis: 所以 L < L/2sin(theta) <2L 08/16 08:32
3F：→ Elengis: 1/4 < sin(theta) < 1/2 求theta的角度范围即可..... 08/16 08:33
4F：推 Entropy1988: 弹簧伸长量不能超过原长吗？ 08/16 08:43
5F：推 iq810228: 可以问一下伸长量不能超过原长的原因吗 08/17 23:26
6F：→ variation: 上面并没有说这是必然的条件，只是推论题目要多加的限 08/18 01:28
7F：→ variation: 制才会得出原PO的问题，请不要无限上纲它，请仔细看倒 08/18 01:31
8F：→ variation: 数第二行 08/18 01:31
9F：→ Entropy1988: 不是无限上纲的问题。限制角度下限的合理理由在哪？ 08/18 02:13
10F：→ Entropy1988: 你说也许是伸长量不能超过原长。那现在问你这个理由 08/18 02:14
11F：→ Entropy1988: 真的合理吗？ 你不解释为什麽合理，只说也许题目是这 08/18 02:15
12F：→ Entropy1988: 样想的。这样没什麽意思啊？ 08/18 02:16
13F：→ Entropy1988: 至少，你本人觉得这是合理的吗？为什麽？ 08/18 02:19
14F：→ Entropy1988: 因为，我们现在就是在想，有什麽合理的理由要特地限 08/18 02:21
15F：→ Entropy1988: 制角度下限。如果是自己也觉得不合理的理由，提出来 08/18 02:22
16F：→ Entropy1988: 又能怎样呢？ 08/18 02:22
17F：→ ERT312: mg < kL 这个限制没什麽意义吧，因为组合弹簧也不难让 08/18 06:28
18F：→ ERT312: mg > kL，但每个弹簧都没超过它的弹性限度。 08/18 06:29
19F：→ ERT312: 以本题来说，当theta=20度，每个弹簧伸长量约是0.462L 08/18 06:30
20F：→ ERT312: 还不到原长的一半，这应该还算安全，20度应该只是个安全而 08/18 06:32
21F：→ ERT312: 漂亮的数字，再小大概就危险了。 08/18 06:32
22F：→ variation: 哦~我不知道伸长量不能超过原长的原因喔 08/19 03:28
23F：→ variation: 我只是作一点数学操作，推论这个角度下限相当的条件 08/19 03:30
24F：→ variation: 文中倒数第二行的意思是我也赞同别种限制，例如mg>kL 08/19 03:33
25F：→ variation: 我非出题者，自然不知道他选怎样的限制，只能猜想他觉 08/19 03:35
26F：→ variation: 得弹簧拉过长会让问题有争议然後加了这个限制。 08/19 03:36
27F：→ variation: 你也可以认为这个条件不合理、不成立，而我在浪费您的 08/19 03:42
28F：→ variation: 时间。为了不浪费大家时间，改天自低，不好意思 08/19 03:43
29F：→ variation: ERT大:如果一个弹簧mg<kL，n个串联後mg<(k/n)(nL) 08/19 03:45
30F：→ variation: 也还成立耶，这样还会没意义吗? 08/19 03:46
31F：推 Entropy1988: 你毕竟还是没有解释原因。我也可以说20听起来很像饿 08/19 07:54
32F：→ Entropy1988: 死，不吉祥，所以角度不可以小於20度。 08/19 07:54
33F：→ Entropy1988: 这也是一种从角度逆推出的结果。 08/19 07:56
34F：→ Entropy1988: 至於为啥不吉祥是个合理的理由，我就忽略不谈了。 08/19 07:57
35F：→ Entropy1988: 一般弹簧的确有伸长比例的极限。不过只要经过一些方 08/19 07:58
36F：→ Entropy1988: 法，就可以改变这个极限量。比方说用同一种钢材绕成 08/19 07:59
37F：→ Entropy1988: 线圈状的弹簧，我可以用各种不同的直径来绕制这个线 08/19 08:00
38F：→ Entropy1988: 圈。 08/19 08:00
39F：→ Entropy1988: 所以考虑伸长比例，确实还是个有道理的理由。 08/19 08:08
40F：推 ttt95217: 问出题者比较快 我个人认为要给高中生出题满麻烦的 08/19 08:09
41F：→ variation: 请问你所谓的伸长比例极限值，是否允许设计到mg>kL? 08/20 11:47
42F：→ variation: 那又怎麽说成有道理? 08/20 11:49
43F：→ Entropy1988: 有道理是说真正的弹簧都存在这个极限值。但是不同的 08/20 20:54
44F：→ Entropy1988: 弹簧极限值可以有很大的不同。故意挑战极端值而不顾 08/20 20:55
45F：→ Entropy1988: 实用性的弹簧则更是如此。例如前述的线圈状弹簧， 08/20 20:56
46F：→ Entropy1988: 试考虑线圈里的单一圈。在符合虎克定律的范围内， 08/20 20:57
47F：→ Entropy1988: 圈越大，则可以有更大的变形量。一圈的厚度不变，但 08/20 20:58
48F：→ Entropy1988: 是伸缩量变大的话，对应的就是整个弹簧的伸缩比例可 08/20 20:59
49F：→ Entropy1988: 变大。单就这种调控方法来说，伸缩比例是没有上限的 08/20 20:59
50F：→ Entropy1988: 。...我这都在解释为什麽考虑极限值的存在是合理的， 08/20 21:01
51F：→ Entropy1988: 因为单一个弹簧确实有个极限值。但是要说所有的弹簧 08/20 21:02
52F：→ Entropy1988: 都有极限值在100%以下，则我还没有看到什麽强力的理 08/20 21:03
53F：→ Entropy1988: 由来支持这件事。 08/20 21:04
54F：→ Entropy1988: mg:kL，为什麽不是mg:10kL？或10mg:kL？ 08/20 21:09
55F：→ Entropy1988: 谁知道呢？也许这时候应该引进额外的资讯了：现实中 08/20 21:13
56F：→ Entropy1988: 的弹簧是否绝大部分共享着同个极限值，若有又是多少 08/20 21:14
57F：→ Entropy1988: ？ 08/20 21:14
58F：→ Entropy1988: 由於已知有些理由在背後背书，所以角度下限20度的确 08/20 21:16
59F：→ Entropy1988: 可能是因为不能超过伸缩比例上限。但是这也不一定对 08/20 21:17
60F：→ Entropy1988: ，因为说不定其实伸缩比例上限会给出10度，或者30度 08/20 21:18
61F：→ Entropy1988: ...我们不知道到底会是多少。 08/20 21:18
62F：→ Entropy1988: (30度打错了 29度好了) 08/20 21:19
63F：→ Entropy1988: 从题目给的角度，运算个东西出来，再猜个理由给它， 08/20 21:22
64F：→ Entropy1988: 这个东西就会自动是个合理的理由吗？不一定吧？ 08/20 21:23
65F：→ Entropy1988: 你说他真的是合理的，所以值得纳入考虑，那你解释啊 08/20 21:25
66F：→ Entropy1988: ？ 我不是不同意你的意见，我还觉得有道理。但是你为 08/20 21:27
67F：→ Entropy1988: 何不给个解释就好了，除非你没有？ 这不是什麽无限 08/20 21:28
68F：→ Entropy1988: 上纲的问题。 08/20 21:28
69F：→ Entropy1988: 有人问为什麽伸长量不能超过原长，很合理的怀疑啊， 08/20 21:32
70F：→ Entropy1988: 说不定这是错的啊？若说它是对的，为何不证明？ 08/20 21:33
71F：→ variation: 你一直期待有个完美通盘的解释，这个我没有喔。 08/21 21:42
72F：→ variation: 虽然前面讲过了，再提一次 08/21 21:42
73F：→ variation: 我只是作一点数学操作，推论这个角度下限相当可以的条 08/21 21:42
74F：→ variation: 件，这是逻辑上我能做到的最多推论， 08/21 21:43
75F：→ variation: 也晓得这个条件可能不能一般性地成立。 08/21 21:43
76F：→ variation: 正因如此，才说不能无限上纲这个推论出来的条件。 08/21 21:43
77F：→ variation: 至於背後有没有理论支持，关於这点才学疏浅的我 08/21 21:44
78F：→ variation: 无法多说什麽。我倾向於说可能是出题者选订的限制， 08/21 21:44
79F：→ variation: 简单猜想他觉得弹簧拉过长会让题目有争议然後加了这个 08/21 21:45
80F：→ variation: 限制。另外，这只是一个可能的推论。 08/21 21:46
81F：推 Entropy1988: 问题就在这啊，你举了一个可能的推论。好，然後有人 08/21 22:08
82F：→ Entropy1988: 问你这个推论为何是对的，或说为何值得考虑好了， 08/21 22:08
83F：→ Entropy1988: 结果你什麽都没有说就end了啊。好，你说了「只是推论 08/21 22:09
84F：→ Entropy1988: 」「勿无限上纲」。但是一件事情如果不说明它为什麽 08/21 22:11
85F：→ Entropy1988: 有道理，我们就可以相信它是对的吗？你完全可以有更 08/21 22:12
86F：→ Entropy1988: 有意义的回答。例如说(以下只是我猜的)弹簧都有伸长 08/21 22:14
这个前面就讲了耶:「他觉得弹簧拉过长会让题目有争议然後加了这个限制。」
87F：→ Entropy1988: 极限，不一定是1倍，也可能是其它值；作者可能随意 08/21 22:15
88F：→ Entropy1988: 取了个值。 08/21 22:15
89F：→ Entropy1988: 其实我只是想要看对为什麽是「1倍」而不是其它数字 08/21 22:18
90F：→ Entropy1988: 给个有物理意义的回答而已。我认为光从角度逆推回去 08/21 22:19
是的，逆推确实是意义不大。而我的推论并不是逆推。
我是计算过程中想到要加上这个限制，先算过了结果，发现这样数值上符合，
才认为出题者可能选定这个限制，虽然写出来的顺序是先给下了这个限制。
91F：→ Entropy1988: 伸长比例没有物理意义。你应该要从物理法则推出弹簧 08/21 22:20
92F：→ Entropy1988: 的伸长比例会是多少才对，而不是从出题者意义不明的 08/21 22:21
93F：→ Entropy1988: 数字推出伸长比例会是多少。这没有物理意义。 08/21 22:22
94F：→ Entropy1988: 也没求你要做得多周全完美，至少给个简单的模型。 08/21 22:23
我确实是知道一些复杂一点的模型，但里面涉及的变量过多，
不像题目中简单几个条件就能得到想要的限制。
(当然这不是什麽"伸长比例")
95F：→ Entropy1988: 那作者如果给了0.01度，你也要推个伸长量吗？作者给 08/21 22:25
说真的，不了解你为什麽提出这个问题，
是因为你认为我是逆推的吗？那上面已经谈到。
96F：→ Entropy1988: 了不同的角度，你就推论出不同的弹簧伸长比例，不觉 08/21 22:26
97F：→ Entropy1988: 怪怪的吗？弹簧这种客观物体又不会因为区区出题者而 08/21 22:26
98F：→ Entropy1988: 改变。 08/21 22:27
99F：→ Entropy1988: 最少最少「我粗估现实中的弹簧伸长量大概在1倍」 08/21 22:33
好歹也是计算检查过确定对应的限制数值相符，"粗估"是不是你在贬低某些...
100F：推 Entropy1988: 至於，「我认为作者只是随意取个数字」，然後也没有 08/21 22:39
我是有个想法:在因次上来讲这个限制很简单，取系数1就可以代表出题者
对这个弹簧的伸长并不是没有任何限制。而取系数1是最简单的代表。
这个想法上面文中都没有讲到，因为毕竟这里要找的是有明确数值的限制。
101F：→ Entropy1988: 其它理由的话 ─那就这样说就好了不是吗。 08/21 22:40
ttt95217说得比较真切，倒不如直接问出题者。
※ 编辑: variation (140.116.26.236), 09/06/2015 15:24:47