※ 引述《peter308 (pete)》之铭言： : 从大学部和研究所的量子力学课程 : 我们都能接受一件事那就是 电子的路径是不可预测的 : 你无法知道一个电子的确切位置 只能知道他在某各地方出现的机率 : 我以前上课其实就把这个结论当作事实直接接受他 : 但似乎老师并没有真的告诉你电子轨迹不可预测这件事的本质为何? : 因为刚好最近修习了"非线性动力学" : 我想说能否从非线性角度来诠释这个不可预测性质的本质究竟是什麽 : 1. △x△p≧hbar/2 : 这个测不准定理其实隐藏了非常多的物理讯息含量 : 他告诉了我们系统phase space的单位不是无穷小的而是有个下限的 : 就好像我们在跑模拟运算的时候通常会对位置去取格点的精准度一样, : 电脑格点有个下限没办法在切下去了 : 2. Butterfly effect : 蝴蝶效应告诉了我们,非线性的系统有个很特别的性质就是,在初始点很小的差别 : 可以在时间很久之後造成非常大的误差. 让你根本无法追朔到源头 : (这里必须注意的一点是有没浑沌跟bifurcation parameter大小也很有关) : 而这个就是浑沌的现象 : 如果用严谨数学定义来讲就是,δr=e^(λt)|δr_0| : (δr_0 是初始时间两个相空间位置点间的变异) : Lyapuno exponent λ 如果是正的表示当系统随时间演化δr会发散最後就无法知道 : 系统确切位置而进入chaos了 : 这个δr_0 可以和海森堡测不准原理的△x,△p做出连结, : 因为从测不准我们知道△x,△p不可能趋近於零,所以如果系统是个非线性系统 : 比方说电子系统, 因为复杂的作用力造成了Hamiltionian非线性的性质 : 这个因为非线性造成之後运动轨迹不确定性的本质就无法真正消除 : 或是这样说 : 电子路径的不可预测性其实就是来自於海森堡原理设定下的最小格点的这个性质 : 最後透过"非线性Hamiltonian这个黑盒子" : 透过 (e^(λt))这个因子(很像电路中的放大器) 去放大他的效应 : 所以说t-> ∞的不可预测性和 t=0时刻 的 海森堡测不准定理其实是一体的两面 : 想像(△x ．△p) 形成的最小格点里面有许多 (x,p) 点 : (举个例子可能有100个相空间的点在里面) : 这一百个点你怎麽知道他们在时间很久之後的运动轨迹是一样的呢???? : 但因为海森堡测不准定理我们无法分辨出这一百个点的差异,只能说用mean field : 去给予这个格点一个平均之後的(x_ave,p_ave)的值 : 但是δr=e^(λt)|δr_0| 这个式子并没有对δr_0给出什麽下限 : δr_0 是可以趋近於理想状况中的无穷小的 : 表示 海森堡最小格点内的不同相点(上述的那100个点中的第1个和第14个,举例) : 是可能造成尔後运动路径上的不同的 : 但是因为你无法分清楚(解析)最小格点内那100个相空间点间的差异, : 就造成了之後对於电子路径的不可预测性的现象的发生 : 目前有没有人对於量子力学本质上不可预测性用这个角度来重新诠释定义?? : 当然当系统进入浑沌的开始和结束时间点会有一个叫做intermittency : 的现象,他也是造成不可预测性的另一个因素来源 : 简单讲 非线性系统 (Lypanuno expoenent 为正)这个性质让我们可以在 : t很长时间之後去放大最小格点内不同相空间位置(那100个点,假设)的差异 : 进而造成了之後电子运动轨迹不可预测的这个性质 : 试想 当Lyapuno expoenent 为零或是负数的时候 : (△x．△p) 形成的最小格点内的差异性就不会被放大 : 因此运动轨迹路径在很长时间之後可以有种收敛性 : 也就是最小格点内的不同相点的路径差最後过了一段时间後会趋於零 : 也就不会破坏这个determinability... : 回到一个问题上面 海森堡测不准定理(设定一个下限给相空间的单位格点) : 这个定理的本质又是什麽?? : 如果我们知道了这个相空间最小单位格点里面发生的事 又会怎麽样? 抱歉占用版面 我最近想了一下 我认为把hilbert space 的state vector 投影到 x,p空间这件事 是类似一个粗粒化(croase graining) 过程 粗粒化过程不可避免的会牵扯到一个mean field approximation 就算是你做mean field的那个最小格点空间 infinitestimal的接近零也一样是粗粒化 在x,p表像空间想试图理解电子或一些物理现象就不可避免会有一个(△x△p≧hbar/2) 的粗粒化条件的产生, 这就让你在试图理解那些最fundamental的物理时(上帝的那个视角) 有些资讯不见了 (在(△x．△p) heisenberg最小相空间格点作粗粒化(mean field approximation) 时有些东西和你在hilbert space直接看的pure state vector(只有上帝办得到) 产生差异了 粗粒化也可以对应到态向量投影到基组空间的那个过程(波榻陷的过程;做出观察?) 总之有些资讯被平均掉资讯遗失了(发生在 (△x．△p) 里面发生的事情被screen掉了) 然後电脑模拟的数字其实某个层面就很像你在做表像空间投影的分量大小 (把状态向量投影到 0,1 的bits上?) 所以你做电脑模拟也应该会有一个 类似△x△p≧hbar/2 的粗粒化条件必须被满足 所以在做电脑模拟时候产生的chaos或是unpredictability应该可以解读类似 △x△p≧hbar/2 这个量子力学粗粒化条件在电脑上的一种变形形式?? 也就是电脑模拟理论上是可以对相空间格点解析到无穷小的 所以电脑模拟版本( PC, calulator) 的uncertainty principle 必须用chaos或是其他的unpredictability的方式呈现出来 而不是 △x△p≧hbar/2 总之不管做态向量投影到无穷维x,p空间 或是电脑上(0,1 bit上) 你都是会牵扯到一个粗粒化过程 粗粒化过程必须伴随一个uncertainty principle 在量子力学是 △x△p≧hbar/2 在电脑模拟nonlinear system时是透过 chaos 这个uncertainty principle 至於chaos,unpredicability这个现象 有没有一个类似 △x△p≧hbar/2 这样简单的式子做归纳 我目前还在在想,或许文献已经有只是我还没找到!! 计算机领域或是讯号分析领域或许有了?? 如果版上有计算机领域高手或许可以帮忙联想到有无类似的uncertainty principle存在? (可以归纳成一个比较简单的式子的可能) 或是在计算机领域 "计算机粗粒化的条件是什麽东西?? " 欢迎大家集思广益!! 万分感谢!! P.S. 1. 是不是在粗粒化的过程,entropy就自己跑出来了呢?? 因为我们在粗粒化过程,把一些资讯丢掉了,他们是否被用entropy的形式 呈现出来?(information loss = entropy gain?) 2. 广义相对论的光速恒定是不是也是一种粗粒化条件? length contraction ? time dialtion = C ( speed light) 这是相对论重力场的粗粒化条件吗? (这点我乱猜的,请不要太认真) 广相会不会研究半天只是在探讨时空格点的gaussian quadrature要怎麽取? (我对於广相其实认知很粗浅 ,gaussian quardrature其实我是从研所数值模拟 课程学习的,只是如果广相如果也能适用於这种粗粒化概念上, 数值模拟取格点的gaussian quadrature技巧应该也会在广相某个地方出现才对) 3. 要统一广相和量子力学困难之处在於要设定出相同的粗粒化条件??? --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 140.115.30.19 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1430736244.A.4E5.html ※ 编辑: peter308 (140.115.30.19), 05/04/2015 18:52:55 ※ 编辑: peter308 (140.115.30.19), 05/04/2015 18:54:40 谢谢版大!!! ※ 编辑: peter308 (36.231.166.68), 05/05/2015 01:42:59 刚好最近系上有个热血教授免费帮我们上RG理论XD ※ 编辑: peter308 (1.162.137.137), 05/17/2015 12:35:28