作者pipidog (如果狗狗飞上天)
看板Physics
标题Re: [闲聊] 为什麽版上几乎没有讨论非线性?
时间Thu Apr 23 05:41:04 2015
※ 引述《peter308 (pete)》之铭言：
: 我觉得非线性是非常有用的一门课
: 里面的数学很简单 大学生甚至高中生就会
: 可是可以应用的领域五花八门
: 从讯号 工程 生物 经济 社交 化学 雷射 半导体 电浆 统计物理 相变 重整化群
: 等等都有
: 可是怎麽感觉版上很少人讨论?
一点想法,其实我认为非线性绝对是物理中一个关键的部分.而且彻底的渗透进了
各个子学门中,只是非线性一词意义太过广泛,因此除非是专门研究数学的,不然一
般人很少会用非线性来描述自己的问题,即便他所做的事情就是非线性.
以凝态物理来说,类似的例子早就已经数不清了.例如透过自洽场求解密度泛函这
件事情本身就是在求解一个非线性方程.但是即便是当初这个工作的几位主要贡献
者也几乎不会用非线性来描述自己的工作,纵然他们在做的事情本质上就是在求解
一个非线性方程.
举一个典型的例子,不晓得版上有没有人接触过CPMD这种计算? 他的全名叫做
Car-Parrinello Molecular Dynamics,这是一个在凝态计算里面很常用来求解
分子或是晶格最稳定结构的方法. 他主要处理的问题是,如果我们想知道求解
一个量子系统的结构随时间的演化,最直觉的作法就是我先做电子结构的基态自
洽,求出了电子的基态之後,我们再去计算这个基态给原子的力.得出力之後,根据
这个力对原子给出位移,然後有了新的位移,我们再根据这个位移去重新做自洽求
出新的原子受力.所以整个流程就是:
自洽求基态->算受力->产生新位移->自洽求基态->算受力>产生新位移....
这个做法想起来很简单,但其实整个过程极其困难.原因是因为,你每把原子的位置
推动一小步,你都要重新求一次自洽.如果你把这整个过程所涉及到的方程式全部
写下来,就会发现他不仅涉及了求解非线性方程,还涉及了自洽求解本徵值的问题.
整个问题运算量极大,而且每一次自洽都存在了可能基态求不对的风险使得误差
不断累积. 这在80年代,基本上是个不可解的问题.
直到Car跟Parinello两个人的出现改变了这个局面.CP的想法是,他在原本的
Hamiltonian中,"毫无道理的"(是的,完全毫无道理,纯粹是数学上瞎凑)
引进了一个跟电子密度有关的项(後来这个项称作虚拟动能),但因为是胡乱
添加进来的项,所以它们刻意地在这个项前面乘上了一个很小的系数m,那麽我们
可以预期,只要m足够小,小到可以忽略的程度.求解这个多出一项的Hamiltonian
问题,就会非常的近似於原本我们想求解的问题.(有兴趣的人可以wiki一下)
这样有什麽好处呢? 神奇的地方在於,这个"多了一项"的Hamiltonian,竟然可以把
电子的orbital的时间演化在"数学形式上"变成了一个古典的牛顿方程. 只要我的
m取的足够小,整个问题就从一个需要不停地求自洽的非线性问题,变成了一个求解
一堆相互耦合的牛顿方程问题.再也不需要做自洽了!至此,运算被大幅减少,透过
数值运算量子系统的空间动力学问题才有了一个在具体上可解决的方法.
从此之後,这个方法被不断的改进,加强.时至今日,你会在大部分的ab initio套装
软体里面发现内建这个功能了.(当然,现在的计算能力,暴力法硬解也是很普通了,
CP已经不是非靠它不可了,但许多量子结构动力学的计算还是基於CP).
CP两人也因为这个工作闻名世界,时至今日,当初他们提出的那篇文章已经被引
用了近万次,而且每个月都还以数百次的数目再增加.可以说靠着一个工作,就奠定
了一代大师的地位.剩下的日子完全可以悠悠哉哉的看着citation破表.
我记得我当初在读这个工作的时候,看到它们莫名其妙地引进一项没意义的项进来
,最後竟然可以把整个问题从量子的本徵值求自洽解的问题变成了一个牛顿力学的
问题时,几乎感到不可置信,暗自拍案这简直是神人的工作.甚至觉得他们从天上掉
一项下来竟然可以有这麽美妙的结果实在太没道理了.是哪来的灵感? 但科学
常常就是这样,努力固然很重要,但是那些最重要的工作,往往带有着一点"天启"的
成分.
话说从头,我想说的是,其实我不觉得非线性在物理的领域里面是一个冷课题,相反
的,很多重要的工作,往往都是建筑在破解了一个非线性的问题上达成的.甚至你会
发现这些破解的方法後来往往造成了一个新的学门的产生(例如今日各种应用在DFT
上的方法都可以算是).只是这些问题往往不是以非线性的姿态出现,而是以一个工
具的姿态出现就是了.
美国的8,90年代,曾经有过一段物理人跑华尔街的风潮,我猜想很大部分就是因为
大多数的物理人都或多或少的被潜移默化许多非线性的观念,即便这些观念在物理
中多半不是以一门专门的学门来教育,但每个物理的领域或多或少都有一些属於
他们自己的非线性问题可以移植到金融领域做分析.
不过之前看过一篇分析,认为物理人跑华尔街的时代已经过去了(以我身边的观察
来看,应该也确实如此,不过毕业跑去网路公司写code,做data science的人倒是越
来越多了),很大的原因是因为那些曾经对金融业来说很新,很陌生的数学方法,早
已被玩金融的人学去了(毕竟人家也不比你笨),甚至有系统的发展成了属於他们专
属的计量学门,以至於其他领域的人毫无背景的跳进去,不仅学不来,也玩不赢了.
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★人生中最温暖的夏天是在纽约的冬天★
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 128.200.93.30
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※ 编辑: pipidog (128.200.93.30), 04/23/2015 05:50:53
1F：推 yarnball: 其实去华尔街的物理人还是有 只是华尔街要的是名校的 04/23 06:55
2F：推 zealeliot: 听起来好有趣 请问多的CP项後来有发现什麽物理意义吗? 04/23 08:07
3F：→ zealeliot: 可以将方程式简化成这样，还是就真的只是数学? 04/23 08:07
4F：→ pipidog: 纯数学,完全没有任何物理意义,但是让问题变得可解了 04/23 08:19
5F：→ pipidog: 所以跑这类计算,你必须让那个m非常小,结果才靠得住. 04/23 08:25
6F：→ pipidog: @yarnball,其实没错,物理人跑华尔街的还是有,我有几个朋 04/23 08:38
7F：→ pipidog: 有前阵子也刚面试完金融业的缺,但是他们现在要人,主要也 04/23 08:39
8F：→ pipidog: 是希望他的coding强,做高频交易,对於物理则完全不在乎了 04/23 08:40
9F：→ pipidog: 所以物理的背景感觉加不了分,倒是CS背景走到哪都吃香 04/23 08:43
10F：推 WINDHEAD: 每次上物理版最期待的就是 pipidog 大的文章 04/23 08:47
11F：推 peter308: 你文章说的m取很小 是不是就是一种分离不同time scale的 04/23 10:09
12F：→ peter308: 技巧?? strogaz 的 3.5 节 很像你在讲的东西 04/23 10:10
13F：→ peter308: 这个可以延伸到center manifold theory 或是slaving 04/23 10:11
14F：→ peter308: principle.... 04/23 10:11
15F：→ peter308: 自洽解我最近的感觉是很像 1-D maps..... 04/23 10:13
16F：→ peter308: 1-D maps 有chaos 你的解就会有non-SCF convergene问题 04/23 10:14
17F：→ pipidog: 老实说,我根本不懂那是啥技巧,只觉得是天上掉下来的 @@~ 04/23 12:53
18F：→ mouwat: 这位学长是作计算吗@@ 04/23 23:20
19F：推 Lindemann: 推 04/24 01:38
20F：推 linesa: 推 04/24 04:29
21F：推 sippo: 推，我觉得这种灵感还是来自於一些数学上的背景知识 04/24 06:32
22F：→ sippo: 如果数学有做过其他类似理论就会触类旁通... 04/24 06:32
23F：→ sippo: 当然也可能真的是苹果砸到头 XDDDD 04/24 06:33
24F：推 sputtering: push~Everytime pipidog's posts have broadview 04/24 10:29
25F：→ wohtp: 我同意这整个点子很精彩，但是那一项本身没有那麽神啦 04/24 17:41
26F：→ wohtp: 加进去的就是个标准的inertia term 04/24 17:41
27F：→ wohtp: 没有inertia的系统有各种不连续，这不是什麽新闻。所以让解 04/24 17:43
28F：→ wohtp: 析解简单的这个性质，同时也可能让数值解难搞到哭爹喊娘 04/24 17:43
29F：→ wohtp: 丢个inertia term进去做regularization是很直觉的作法 04/24 17:45
30F：→ wohtp: 这两人了不起的地方在於，他们认识到你每一步都要重新求电 04/24 17:45
31F：→ wohtp: 子波函数的原因，正是Born-Oppenheimer approx这个 04/24 17:46
32F：→ wohtp: inertia-less的假设引进的不连续性 04/24 17:47
33F：→ caseypie: 这里说的inertia-less是指电子分布的取得跟原子核不同， 04/24 22:17
34F：→ caseypie: 并非透过求位移取得？ 04/24 22:18
35F：→ wohtp: Born-Oppenheimer讲的是电子会对原子核位置瞬间作出反应 04/24 22:28
36F：→ wohtp: 像是一个只有电阻的电路，电流会瞬间随着电压改变 04/24 22:31
37F：→ wohtp: 这就是我所谓的没有惯性 04/24 22:31
38F：→ wohtp: 啊，电流的例子不好，这个怎样也没有inertia。改成电容器和 04/24 22:36
39F：→ wohtp: 电荷好了。 04/24 22:36
40F：→ wohtp: 算 Q = CV 当然很简单，但是如果你只准用数值积分算Q(t)， 04/24 22:38
41F：→ wohtp: 那就会到处爆炸给你看 04/24 22:39
42F：→ caseypie: 这个「瞬间」是指求H本徵值解的时候没有时间因素？ 04/25 11:07
43F：推 Mazeway: 不懂非线性的搞出LTCM破产 (创办人还是经济诺贝尔奖) 04/25 22:16
44F：→ Mazeway: James Simons数学家开的Renaissance Technologies还是很 04/25 22:18
45F：→ Mazeway: 赚啊 04/25 22:18
46F：推 peter308: 推pipidog 的讨论和分享 05/01 14:34