作者wohtp (会喵喵叫的大叔)
看板Physics
标题Re: [问题] 因次分析中,为何等式左边与右边因次须同?
时间Sat Sep 20 19:16:39 2014
直接回一篇。
因次的数学结构就是这样。
我把该定义的都定义了，没定义的就是没有。
因次本来就不是体，更不是实
数，不需要满足实数的性质。
假设我们在做一维运动学，因次有长度（公尺）、时间（秒）和质量（公斤）。
对长度我定义一个可交换群 L，其元素为 { (m)^r | r∈R }
群的乘法是 (m)^a * (m)^b = (m)^(a+b)
对时间我定义一个可交换群 T，其元素为 { (s)^r | r∈R }
群的乘法是 (s)^a * (s)^b = (s)^(a+b)
对质量我定义一个可交换群 M，其元素为 { (kg)^r | r∈R }
群的乘法是 (kg)^a * (kg)^b = (kg)^(r+s)
然後我定义
G = L x T x M，就是以上三个群的直积。
另外，把 G 的单位元素 (m)^0 (s)^0 (kg)^0 标记为 I。
最後，我定义所有「物理量」的集合为 { rg ≡ (r, g) | for all r∈R, g∈G }
并且定义以下运算：
1. 加法：
ag + bg = (a+b)g
2. 乘法：
(ag)*(bh) = (ab)(gh)
3. 实数乘法：
b * (ag) = (a*b)g
4. 实数除法：
(ag) ÷b = (a/b)g
如果要求模型里所有的东西都必须是物理量，即使是无因次的数字 k 也必须
变成 (k, I) 的话，(3)和(4)是不必要的。
如果我们要处理运动学以外的问题，G 的定义也要相对的加大。
例如说要做电磁学，就要再多乘一个电荷的子群进去（或电流，随你高兴）。
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所以你可以说 3 = 3，但是绝对不能说 (3, g) = (3, h)。
至於你那个 三个苹果 = 三个橘子，则是取 G = 苹 x 橘 x 个数
苹 = { (苹果)^r | r ∈ R }, ...
橘 = { (橘子)^r | r ∈ R }, ...
个数 = { (个)^r | r ∈ R }, ...
然後做
(3, 苹果) * (1, (苹果)^(-1) (个) ) = (3, 个)
= (3, 橘子) * (1, (橘子)^(-1) (个) )
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※ 编辑: wohtp (123.110.141.102), 09/20/2014 19:18:26
※ 编辑: wohtp (123.110.141.102), 09/20/2014 19:20:17
※ 编辑: wohtp (123.110.141.102), 09/20/2014 19:35:58
※ 编辑: wohtp (123.110.141.102), 09/20/2014 19:43:26
1F：推 contaminate: 为何我这篇看不是很懂Q 09/20 21:01
怪我喽 ╮(╯_╰)╭
因为原po一直在跟我扯因次和单位不可以是数学模型的一部分，我才生个
数学定义出来给他看。我定义的就是大家天天在用的东西，不多不少。
※ 编辑: wohtp (123.110.141.102), 09/20/2014 21:17:25
2F：推 Entropy1988: 的确 09/21 10:04
3F：→ contaminate: 只好再看一次了 09/21 14:00
4F：推 wgst88w: 好正规的数学表示法 ^^" 09/21 15:56
5F：推 louis925: 原po 是数学系的吗XDD 第一次看到这麽正经的定义物理量 09/23 14:02
啊念物理的就不能懂一点点抽象代数吗？
而且其实这个定义不太好，因为我要拉到物理量这个层次才能做单位变换。
※ 编辑: wohtp (123.110.141.102), 09/23/2014 17:19:17