作者caseypie (吟游诗人)
看板Physics
标题Re: [问题] 统计力学推导遇到的微分问题
时间Sat Mar 24 13:06:38 2012
※ 引述《Lanjaja ()》之铭言：
: 大家好，最近在计算计算统计力学的相变问题，
: 课本推导中有用到很奇妙的椭圆积分elliptic integral
: 但是算到一半就卡住了，不知道其中一条关系式怎麽得到的，
: 我的问题整理如下
: K(k)是complete elliptic integral of the first kind, 定义如下
: π/2 dθ
: K(x) = ∫ ------------------------- 0 ≦ x^2 < 1
: 0 √[1- (x^2)*(sinθ)^2]
: E(x)是complete elliptic integral of the second kind, 定义如下
: π/2
: E(x) = ∫√[1- (x^2)*(sinθ)^2] dθ 0 ≦ x^2 < 1
: 0
: 试证
: 1
: dK/dx = -----------[E(x) - (1-x^2)K(x)]
: (1-x^2)x
改写：
欲证
(1-x^2)x(dK/dx) = E(x) - (1-x^2)K(x)
=> (1-x^2)(d(xK)/dx) = E(x)
=> d(xK)/dx - E(x) = (x^2)(d(xK)/dx)
d(xK)/dx = K + ∫(x^2)*(sinθ)^2/[1- (x^2)*(sinθ)^2]^(3/2) dθ
E = ∫[1- (x^2)*(sinθ)^2]/√[1- (x^2)*(sinθ)^2] dθ
= K - ∫ (x^2)*(sinθ)^2/√[1- (x^2)*(sinθ)^2] dθ
d(xK)/dx - E = 一大串积分
尝试凑出 (x^2)(d(xK)/dx)
得到
d(xK)/dx - E = (x^2)(d(xK)/dx) - (x^2)I(x)
(x^2)(sinθ)^4 - 2(sinθ)^2 + 1
I(x) = ∫ ---------------------------------- dθ
[1- (x^2)*(sinθ)^2]^(3/2)
sin(2θ)
= ------------------------------- （我用mathematica = =）
√(4-2x^2 +2(x^2)cos(2θ) )
= 0
得证
d(xK)/dx - E = (x^2)(d(xK)/dx)
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 99.116.95.250
※ 编辑: caseypie 来自: 99.116.95.250 (03/24 14:45)
1F：推 Lanjaja:谢谢你的回答 03/25 10:42