※ 引述《WINDHEAD (Grothendieck吹头)》之铭言： : ※ 引述《mgtsai ()》之铭言： : : 一般而言，外积值是二阶(外)张量 : : 不过在三维向量空间中，二阶外张量的维度刚好也是三维 : : 所以在三维向量空间，外积值刚好可以使用向量代表 : : 不过在其它维度就无法这样做 : : 在其它的维度如下 : : 二维空间中两向量的外积：一维 : : 三维空间中两向量的外积：三维 : : 四维空间中两向量的外积：六维 : : 五维空间中两向量的外积：十维 : : .....

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 60.250.129.52 推 herstein:cross product根wedge product不太一样 10/07 12:40 : 虽然外积的性质跟二阶外张量很像， : 但外积的实际维数可能比二阶外张量还少 : 比方说在七维空间中 e_1^e_2 跟 e_4^e_7 跟 e_6^e_5 可以同时设成 e_3 : 如此一来将大大减少外积的维数 : 你的 dimension counting 必须将这件事考虑进去唷 : (呃...好像跟物理不太有关系) : -- :

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) : ◆ From: 24.12.185.108 : 推 xgcj:推 大大可以将这些结构说清楚一些吗? 10/07 14:19 : → WINDHEAD:七维的原则是 e_i^e_(i+1)=e^(i+3) 然後这三个家伙自己 10/07 14:41 : → WINDHEAD:形成一组 R^3 的外积 10/07 14:41 : → WINDHEAD:其实如果你很会猜的话,或许可以猜 2^n-1 维才能定义外积 10/07 14:50 : → WINDHEAD:利用实射影空间的上同调群(over Z_2)很容易证明这件事, 10/07 14:52 : → WINDHEAD:但实际上情况更严峻, 只当 n=1,2,3 的时候才存在外积 10/07 14:54 : → WINDHEAD:这个跟Bott periodicity有关,但我不知道怎麽在这里解释 10/07 14:54 : → WINDHEAD:姑且当做茶余饭後的闲聊好了XD 10/07 14:55 WINDHEAD 兄所提到的是数学上对外积的正统定义 是寻找一个 R7 x R7 -> R7 封闭的代数结构 但在物理上，一般大家所惯用的 "外积" 性质比较像是 herstein 兄所提到的 wedge product 在物理上，与外积类似的应用场合 大致上是刚体旋转，旋度计算，磁场这类的问题 就以计算(轨道)角动量为开头 L = m r x v 上式是物理中一个很典型的 "外积" 运算 m 为物体的质量 r 为物体对参考点的相对位置 v 为物体的速度 而整个刚体的总角动量，就则上述式子对刚体内所有质点积分即可 放到多维空间 (非三维)，角动量值就不是向量，而是二阶外张量 就以 WINDHEAD 兄所提到的七维空间 角动量於 e1^e2，e4^e7，e6^e5 的分量，是三个完全不同的值 这一点，由 SO(7) (七维刚体旋转群) 的李代数里头观察，可以看得更加清楚 当然，以严谨的数学定义中，物理中的 "外积"，要说成 wedge product 才对 但长久的时间下来，习惯上大家都叫做 "外积" 符号上也是以 x 作为 "外积" 的符号 (比如旋度：▽x: 向量场映射至二阶外张量场的运算) 这一点就附带说明一下罗 ---------- 不过说真的，我自己倒还没看过除了三维空间之外 数学上正统的外积运算在物理上的应用 也许是我比较寡闻，看得还不够多吧 如果其它人知道的话，不吝讲出来让大家知道罗 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 60.250.129.52 ※ 编辑: mgtsai 来自: 60.250.129.52 (10/07 16:46)