我把问题讲清楚 假设宇宙是封闭没有边界的 哥哥和弟弟是双胞胎 起始状态是哥哥弟弟在同一个位置弟弟静止哥哥往一个方向等速运动 终止状态跟起始状态一样 不过哥哥已经绕宇宙一圈了 请问终止状态时哥哥年轻还是弟弟年轻 ※ 引述《sirhc (sirhc)》之铭言： : 假如假设宇宙是封闭的 : 以二维来想 也就是假设宇宙是ㄧ个圆柱的表面 : 这样哥哥就不需要转换贯性座标 : 只要绕圆住一圈就可以回到原点了 : 那这样试问 哥哥比较年轻 还是弟弟比较年轻 : ※ 引述《xgcj (xgcj)》之铭言： : : 来找个例子算算双生子题目好了 : : 首先我把题目简化一下 : : 我们有双胞胎兄弟两人 : : 哥哥和弟弟 : : 首先弟弟留在地球上 哥哥比较喜欢冒险 : : 所以他搭乘一艘性能优异的太空船出去外太空旅行 : : 这个时候 我们太空旅行的过程分为 : : 加速阶段=>等速阶段=>减速阶段=== ╗ : : ↓ : : 减速阶段<=等速阶段<=加速阶段=== ╝ : : 为了不使家里孤单的嫂嫂担心 所以这趟旅程是一趟很快的旅程 : : 过一下子就回来了 : : 然後这是个假想的实验 : : 所以跟实际上就不要太计较了 : : 出发那一刻 兄弟俩拿着相同的表对时 : : 然後哥哥从静止出发! : : 0 L1 L2 L1 : : 地球 加速阶段 速度=C/2 等速阶段 速度=C/2 减速阶段 速度=0 (去程) : : =============== =============================== =============== 目的地 : : 地球 减速阶段 速度=C/2 等速阶段 速度=C/2 加速阶段 速度=0 (回程) : : 我做这个题目时将完全用狭义相对论来做 并且使用 : : 首先 : : 为了简化题目 我们加速阶段都用等加速度来做 而且我们加减速阶段都使用L1作为长度 : : 在等速阶段 我们用 L2作为长度 : : 令L1=30s*c (秒乘上光速) L2=1000s*c : : 先计算加速度是多少 2 2 : : 1 2 1 (a*t0) (c/2) : : L1=---- a (t0) =---* ------=------- : : 2 2 a 2 a : : => 2 : : (c/2) : : a= -------=(c^2)/(240sc)=c/(240s) : : 2*L1 : : -------------------------------------------------------------------------------- : : 并令 θ1=arcsin(v/c)=arcsin(1/2)=π/6 (等等会用到) : : -------------------------------------------------------------------------------- : : 现在要先处理弟弟座标系的部分 : : 这个地方用等加速度公式就可以了 : : 令加速度阶段所花时间为t0 等速阶段所花时间为t1 : : 因为加速等共有4段 等速共有2段 又相同的阶段间彼此是对称的 : : 所以结果最後在相加 : : 2 2 : : L1=(0.5)a(to) 所以=>30sc=0.5*(c/240s)(t0) : : =>t0=120s : : L2=V*t1=>1000sc=(0.5c)t1 : : =>t1=2000s : : 弟弟等哥哥回来所花的时间为 : : 4t0+2t1=4480s : : -------------------------------------------------------------------------------- : : ps补上公式:[以便最後做比较] : : 4t0+2t1=4(V/a)+2(L2/V)=4(c/a)sinθ1+2(L2/V) : : -------------------------------------------------------------------------------- : : 现在要处理哥哥的部分 : : 这个部分要用到一个观念 : : 那就是所谓"原时"的概念 : : 哥哥本身相对於自己是静止的 : : 所以他的时间和弟弟过的时间就不一样 : : 我这里用t'来当哥哥本身时间的代号 : : dt'=√(1-(v^2/c^2))dt : : 我们先用这个公式来计算加速阶段所花的时间 : : 先考虑第一加速阶段 : : v=at : : 所以 : : dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-(at/c)^2)dt : : 那第一阶段所花的原时为 : : t0 : : t'0=∫√(1-(at/c)^2)dt : : 0 : : 做个变数变换 : : let (at/c)=sinθ (a/c)dt=cosθdθ 0->0 t0->θ1=π/6 : : 所以积分式变为 : : θ1 2 : : ∫ √(1-sinθ)(c/a)cosθdθ (0<(v/c)<1) : : 0 : : θ1 2 : : =>∫ (c/a) cosθ dθ : : 0 : : θ1 : : =∫ (c/a)(1/2)(1+cos(2θ))dθ : : 0 : : =(1/2)(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)] : : ------------------------------------------------------- : : 再来是等速度阶段所花的时间 : : 2 : : dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-sinθ1)dt=cosθ1dt : : t'1=cosθ1*t1=cosθ1*(L2/V) : : 总共花的时间是 : : 4t'0+2t'1=2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) : : ------------------------------------------------------- : : 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) : : =2(c/(c/240s))[π/6+(0.5)sin(π/3)]+2cos(π/6)*(1000cs/(c/2)) : : =480s[0.9566]+4000*cos(π/6) : : =3923.27s : : ------------------------------------------------------ : : 弟弟经过的时间是4480s哥哥经过的时间是3923.27s : : 可见弟弟已经比哥哥还要老了XD : : ------------------------------------------------------ : : 最後对两个结果做个比较 : : 这是弟弟的 : : 4(c/a)sinθ1+2(L2/V) : : 这是哥哥的 : : 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) [2] : : ----------------------------------------------------- : : 在(0,π/2)区间里面 : : 4sinθ-2θ-sin(2θ)>0 [1] : : 又1>cosθ : : 所以弟弟经过的时间比哥哥还多 : : ---------------------------------------------------- : : 简单的计算 可以给我们一些启示 你也可以去调整里面的参数 : : 最後你可以发现到底 : : 小弟若有错误的地方请大家纠正m(_ _)m : : ---------------------------------------------------- : : [1] 用mathematica画的图y=4sinθ-2θ-sin(2θ) (0,π/2) : : http://ppt.cc/fa!p : : [2]补充说明 在加速度极大之下 也就是a>>1 : : 我们可以忽略下面式子的前两项 : : 4(c/a)sinθ1+2(L2/V) : : 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ1)]+2cosθ1*(L2/V) : : 於是又回到 : : 2(L2/V) : : 2cosθ1*(L2/V) : : 这个结果上 也就是不用考虑到加速度的效应 : : 这个结果化作我们熟悉的形式是 : : 2 : : 2(L2/V) 和 2*√(1-(V/c))(L2/V) : : 也就是在加速度极大之下我们可以忽略加速度对时间的效应 : : - : : 标题 [新闻] 一射精就变盲人！怪病男就医求援 : : 时间 Tue Nov 30 18:01:17 2010 : : → youku1:五楼有这症状 11/30 18:01 : : → nash1way:五楼有这症状 11/30 18:01 : : 推 Bartleby:五楼有这症状 11/30 18:02 : : 推 Carmelo:我没有 11/30 18:02 : : 推 YU0121:盖 11/30 18:02 : : - --

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