作者sirhc (sirhc)
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标题Re: [问题] 相对论问题 双胞胎
时间Sun Dec 5 09:50:01 2010
假如假设宇宙是封闭的
以二维来想 也就是假设宇宙是ㄧ个圆柱的表面
这样哥哥就不需要转换贯性座标
只要绕圆住一圈就可以回到原点了
那这样试问 哥哥比较年轻 还是弟弟比较年轻
※ 引述《xgcj (xgcj)》之铭言：
: 来找个例子算算双生子题目好了
: 首先我把题目简化一下
: 我们有双胞胎兄弟两人
: 哥哥和弟弟
: 首先弟弟留在地球上 哥哥比较喜欢冒险
: 所以他搭乘一艘性能优异的太空船出去外太空旅行
: 这个时候 我们太空旅行的过程分为
: 加速阶段=>等速阶段=>减速阶段=== ╗
: ↓
: 减速阶段<=等速阶段<=加速阶段=== ╝
: 为了不使家里孤单的嫂嫂担心 所以这趟旅程是一趟很快的旅程
: 过一下子就回来了
: 然後这是个假想的实验
: 所以跟实际上就不要太计较了
: 出发那一刻 兄弟俩拿着相同的表对时
: 然後哥哥从静止出发!
: 0 L1 L2 L1
: 地球 加速阶段 速度=C/2 等速阶段 速度=C/2 减速阶段 速度=0 (去程)
: =============== =============================== =============== 目的地
: 地球 减速阶段 速度=C/2 等速阶段 速度=C/2 加速阶段 速度=0 (回程)
: 我做这个题目时将完全用狭义相对论来做 并且使用
: 首先
: 为了简化题目 我们加速阶段都用等加速度来做 而且我们加减速阶段都使用L1作为长度
: 在等速阶段 我们用 L2作为长度
: 令L1=30s*c (秒乘上光速) L2=1000s*c
: 先计算加速度是多少 2 2
: 1 2 1 (a*t0) (c/2)
: L1=---- a (t0) =---* ------=-------
: 2 2 a 2 a
: => 2
: (c/2)
: a= -------=(c^2)/(240sc)=c/(240s)
: 2*L1
: --------------------------------------------------------------------------------
: 并令 θ1=arcsin(v/c)=arcsin(1/2)=π/6 (等等会用到)
: --------------------------------------------------------------------------------
: 现在要先处理弟弟座标系的部分
: 这个地方用等加速度公式就可以了
: 令加速度阶段所花时间为t0 等速阶段所花时间为t1
: 因为加速等共有4段 等速共有2段 又相同的阶段间彼此是对称的
: 所以结果最後在相加
: 2 2
: L1=(0.5)a(to) 所以=>30sc=0.5*(c/240s)(t0)
: =>t0=120s
: L2=V*t1=>1000sc=(0.5c)t1
: =>t1=2000s
: 弟弟等哥哥回来所花的时间为
: 4t0+2t1=4480s
: --------------------------------------------------------------------------------
: ps补上公式:[以便最後做比较]
: 4t0+2t1=4(V/a)+2(L2/V)=4(c/a)sinθ1+2(L2/V)
: --------------------------------------------------------------------------------
: 现在要处理哥哥的部分
: 这个部分要用到一个观念
: 那就是所谓"原时"的概念
: 哥哥本身相对於自己是静止的
: 所以他的时间和弟弟过的时间就不一样
: 我这里用t'来当哥哥本身时间的代号
: dt'=√(1-(v^2/c^2))dt
: 我们先用这个公式来计算加速阶段所花的时间
: 先考虑第一加速阶段
: v=at
: 所以
: dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-(at/c)^2)dt
: 那第一阶段所花的原时为
: t0
: t'0=∫√(1-(at/c)^2)dt
: 0
: 做个变数变换
: let (at/c)=sinθ (a/c)dt=cosθdθ 0->0 t0->θ1=π/6
: 所以积分式变为
: θ1 2
: ∫ √(1-sinθ)(c/a)cosθdθ (0<(v/c)<1)
: 0
: θ1 2
: =>∫ (c/a) cosθ dθ
: 0
: θ1
: =∫ (c/a)(1/2)(1+cos(2θ))dθ
: 0
: =(1/2)(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]
: -------------------------------------------------------
: 再来是等速度阶段所花的时间
: 2
: dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-sinθ1)dt=cosθ1dt
: t'1=cosθ1*t1=cosθ1*(L2/V)
: 总共花的时间是
: 4t'0+2t'1=2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V)
: -------------------------------------------------------
: 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V)
: =2(c/(c/240s))[π/6+(0.5)sin(π/3)]+2cos(π/6)*(1000cs/(c/2))
: =480s[0.9566]+4000*cos(π/6)
: =3923.27s
: ------------------------------------------------------
: 弟弟经过的时间是4480s哥哥经过的时间是3923.27s
: 可见弟弟已经比哥哥还要老了XD
: ------------------------------------------------------
: 最後对两个结果做个比较
: 这是弟弟的
: 4(c/a)sinθ1+2(L2/V)
: 这是哥哥的
: 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) [2]
: -----------------------------------------------------
: 在(0,π/2)区间里面
: 4sinθ-2θ-sin(2θ)>0 [1]
: 又1>cosθ
: 所以弟弟经过的时间比哥哥还多
: ----------------------------------------------------
: 简单的计算 可以给我们一些启示 你也可以去调整里面的参数
: 最後你可以发现到底
: 小弟若有错误的地方请大家纠正m(_ _)m
: ----------------------------------------------------
: [1] 用mathematica画的图y=4sinθ-2θ-sin(2θ) (0,π/2)
: http://ppt.cc/fa!p
: [2]补充说明 在加速度极大之下 也就是a>>1
: 我们可以忽略下面式子的前两项
: 4(c/a)sinθ1+2(L2/V)
: 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ1)]+2cosθ1*(L2/V)
: 於是又回到
: 2(L2/V)
: 2cosθ1*(L2/V)
: 这个结果上 也就是不用考虑到加速度的效应
: 这个结果化作我们熟悉的形式是
: 2
: 2(L2/V) 和 2*√(1-(V/c))(L2/V)
: 也就是在加速度极大之下我们可以忽略加速度对时间的效应
: -
: 标题 [新闻] 一射精就变盲人！怪病男就医求援
: 时间 Tue Nov 30 18:01:17 2010
: → youku1:五楼有这症状 11/30 18:01
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: 推 YU0121:盖 11/30 18:02
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◆ From: 66.31.43.76
1F：推 ic6413:1.封闭不imply可以绕一圈回来 至少也要without boundary 12/05 11:16
2F：→ ic6413:2. 你问的问题答案都跟原本条件下的一样 12/05 11:18
3F：推 condensed:看起来蛮有趣的，不过你应该先把你的问题定义清楚 12/06 00:53