※ 引述《xgcj (xgcj)》之铭言： : 来找个例子算算双生子题目好了 : 首先我把题目简化一下 : 我们有双胞胎兄弟两人 : 哥哥和弟弟 : 首先弟弟留在地球上 哥哥比较喜欢冒险 : 所以他搭乘一艘性能优异的太空船出去外太空旅行 : 这个时候 我们太空旅行的过程分为 : 加速阶段=>等速阶段=>减速阶段=== ╗ : ↓ : 减速阶段<=等速阶段<=加速阶段=== ╝ : 为了不使家里孤单的嫂嫂担心 所以这趟旅程是一趟很快的旅程 : 过一下子就回来了 : 然後这是个假想的实验 : 所以跟实际上就不要太计较了 : 出发那一刻 兄弟俩拿着相同的表对时 : 然後哥哥从静止出发! 其实双生子问题，不是指在弟弟的惯性系中， 如何使用时间膨胀的公式，去计算出哥哥和弟弟经历的固有时。 而是如何在哥哥的加速系中，计算哥哥和弟弟历经的固有时。 所以如果没有去处理加速系中的观点， 那就只是在惯性系中，进行时间膨胀的计算而已。 那如果只是要在惯性系中，比较两者历经的固有时，其实不必这麽麻烦。 因为时间膨胀的公式，就已经告诉我们： 运动的钟历经的时间dt'和静止的钟历经的时间dt，有r*dt'=dt这个关系， 其中r永远大於1。 也就是说运动中的钟，走的比较慢，那当然哥哥会比较年轻。 这其实和加速不加速、加速度的大小、加速作用的时间，没有关系。 因为时间膨胀的公式里，显然没有加速度的项，只和相对速度大小有关。 但加速度实际上到底有没有影响，不是这麽想当然尔的ㄧ件事。 因为狭义相对论最初考虑的只是两惯性系间的变换， 要扩大到加速系与惯性系间的变换，必须有实验的支持，才有办法做这种额外的假设。 此外，加速造成的时间效应，主要反映在非惯性系中。 从哥哥的观点来看，这个加速造成的时间效应非常重要。 它恰恰是回答双生子问题的关键，也解释了为什麽从哥哥的观点， 仍应该预期弟弟的钟会走得比较快。 这里不论加速过程对弟弟而言有多短，或者加速度是否趋於无穷大， 造成的时间效应都是不可忽略的。(相反地，有着决定性的影响。) : 0 L1 L2 L1 : 地球 加速阶段 速度=C/2 等速阶段 速度=C/2 减速阶段 速度=0 (去程) : =============== =============================== =============== 目的地 : 地球 减速阶段 速度=C/2 等速阶段 速度=C/2 加速阶段 速度=0 (回程) : 我做这个题目时将完全用狭义相对论来做 并且使用 : 首先 : 为了简化题目 我们加速阶段都用等加速度来做 而且我们加减速阶段都使用L1作为长度 : 在等速阶段 我们用 L2作为长度 : 令L1=30s*c (秒乘上光速) L2=1000s*c : 先计算加速度是多少 2 2 : 1 2 1 (a*t0) (c/2) : L1=---- a (t0) =---* ------=------- : 2 2 a 2 a : => 2 : (c/2) : a= -------=(c^2)/(240sc)=c/(240s) : 2*L1 : -------------------------------------------------------------------------------- : 并令 θ1=arcsin(v/c)=arcsin(1/2)=π/6 (等等会用到) : -------------------------------------------------------------------------------- : 现在要先处理弟弟座标系的部分 : 这个地方用等加速度公式就可以了 : 令加速度阶段所花时间为t0 等速阶段所花时间为t1 : 因为加速等共有4段 等速共有2段 又相同的阶段间彼此是对称的 : 所以结果最後在相加 : 2 2 : L1=(0.5)a(to) 所以=>30sc=0.5*(c/240s)(t0) : =>t0=120s : L2=V*t1=>1000sc=(0.5c)t1 : =>t1=2000s : 弟弟等哥哥回来所花的时间为 : 4t0+2t1=4480s : -------------------------------------------------------------------------------- : ps补上公式:[以便最後做比较] : 4t0+2t1=4(V/a)+2(L2/V)=4(c/a)sinθ1+2(L2/V) : -------------------------------------------------------------------------------- : 现在要处理哥哥的部分 : 这个部分要用到一个观念 : 那就是所谓"原时"的概念 : 哥哥本身相对於自己是静止的 : 所以他的时间和弟弟过的时间就不一样 : 我这里用t'来当哥哥本身时间的代号 : dt'=√(1-(v^2/c^2))dt : 我们先用这个公式来计算加速阶段所花的时间 : 先考虑第一加速阶段 : v=at : 所以 : dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-(at/c)^2)dt : 那第一阶段所花的原时为 : t0 : t'0=∫√(1-(at/c)^2)dt : 0 : 做个变数变换 : let (at/c)=sinθ (a/c)dt=cosθdθ 0->0 t0->θ1=π/6 : 所以积分式变为 : θ1 2 : ∫ √(1-sinθ)(c/a)cosθdθ (0<(v/c)<1) : 0 : θ1 2 : =>∫ (c/a) cosθ dθ : 0 : θ1 : =∫ (c/a)(1/2)(1+cos(2θ))dθ : 0 : =(1/2)(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)] : ------------------------------------------------------- : 再来是等速度阶段所花的时间 : 2 : dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-sinθ1)dt=cosθ1dt : t'1=cosθ1*t1=cosθ1*(L2/V) : 总共花的时间是 : 4t'0+2t'1=2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) : ------------------------------------------------------- : 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) : =2(c/(c/240s))[π/6+(0.5)sin(π/3)]+2cos(π/6)*(1000cs/(c/2)) : =480s[0.9566]+4000*cos(π/6) : =3923.27s : ------------------------------------------------------ : 弟弟经过的时间是4480s哥哥经过的时间是3923.27s : 可见弟弟已经比哥哥还要老了XD : ------------------------------------------------------ : 最後对两个结果做个比较 : 这是弟弟的 : 4(c/a)sinθ1+2(L2/V) : 这是哥哥的 : 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) [2] : ----------------------------------------------------- : 在(0,π/2)区间里面 : 4sinθ-2θ-sin(2θ)>0 [1] : 又1>cosθ : 所以弟弟经过的时间比哥哥还多 : ---------------------------------------------------- : 简单的计算 可以给我们一些启示 你也可以去调整里面的参数 : 最後你可以发现到底 : 小弟若有错误的地方请大家纠正m(_ _)m : ---------------------------------------------------- : [1] 用mathematica画的图y=4sinθ-2θ-sin(2θ) (0,π/2) : http://ppt.cc/fa!p : [2]补充说明 在加速度极大之下 也就是a>>1 : 我们可以忽略下面式子的前两项 : 4(c/a)sinθ1+2(L2/V) : 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ1)]+2cosθ1*(L2/V) : 於是又回到 : 2(L2/V) : 2cosθ1*(L2/V) : 这个结果上 也就是不用考虑到加速度的效应 : 这个结果化作我们熟悉的形式是 : 2 : 2(L2/V) 和 2*√(1-(V/c))(L2/V) : 也就是在加速度极大之下我们可以忽略加速度对时间的效应 : - : 标题 [新闻] 一射精就变盲人！怪病男就医求援 : 时间 Tue Nov 30 18:01:17 2010 : → youku1:五楼有这症状 11/30 18:01 : → nash1way:五楼有这症状 11/30 18:01 : 推 Bartleby:五楼有这症状 11/30 18:02 : 推 Carmelo:我没有 11/30 18:02 : 推 YU0121:盖 11/30 18:02 : - --

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