※ 引述《DevilsCrying (空的脑袋 Sora no Adama)》之铭言： : 不过我看了原PO的影片 觉得红豆沙并非形成Chladni Pattern : 红豆沙的集中并非因为锅子的震动而集中在节线上 : 圆形的锅子其震动模态在半径分布上应该是Bessel函数 : 我觉得原PO的case应该跟水流有关 : 我们清楚看到原PO必须左右摆动锅子 : 我猜想应该是水流产生驻波 而红豆沙落在节点上 : 原PO可以进一步验证看看 你加快或减慢左右摆动频率 : 照理说节点会变多或变少 我今天也在想这个问题... 很好玩的实验, 但是要解释又不是那麽容易. 这个锅子里面有一些竞争条件. 第一个最显而易见: cylindrical wave equation 的 spatial solution. Ψ = RφZ, R 是 Bessel, φ是 sinusoidal, Z 是 exponential. 只是光看这个答案还让人不太满意, 因为可能性还是太多. 第二个比较不太明确的是整个系统的 natural frequency. 意思是前面解出来的那堆 normal mode 当中, 有些比较不容易消散. 然而, 在这里遭遇第一个我没办法解决的问题... 系统共振是力学问题, 跟波动方程式没关系. 也就是 natural frequency 未必对应到某些 normal mode 的 propagator. 从数学的角度, 这个锅子加水的系统, 有一组天生的「驻波」. 从物理学的角度, 至少有一个天生的「响应频率」. 即使是纯数学, 这个对应本身就已经很复杂了. 因为某一个频率其实会对应到一大堆的 spatial component. 更何况数学跟物理可能对不准! Orz 最後还有一个竞争条件. 在那个「水─不锈钢─地表」的介面, 同样会决定可以留下哪些波动. 这组条件是波动方程式的结果... 介面两边的介质波速不同, 一定有穿透系数跟反射系数. 通常都是部分穿透部分反射, 所以也是一种衰减项. 所以最後得出的物理模型是这样... 锅子的尺寸决定驻波的 normal mode. 锅子的材质、液体的深度和种类, 决定 resonance 跟 quality factor. 「水─不锈钢─地表」这层介面又决定每个 normal mode 各自的衰减项. 这三者挑出来的结果又都不尽相同. 不过这样让人又更不满意了! 因为太复杂, 复杂到几乎等於什麽都没讲. 以 http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/pics/8029_0_DSCF0411.JPG 这张图来说... 结果其实还蛮单纯的, 那麽明显的条纹!! Orz 所以再往下凑一些答案... 「我怀疑」, 这个图案主要的变因是第二个理由: natural frequency. 意思是说, 这个图形主要是来自於系统共振的结果. 因为只有这个理由会挑出一个明确的图案. 跟鼓面有关的实验也是类似的现象... 不过鼓的变因倒不是 natural oscillation, 而是 forced oscillation. （所以鼓的挑选结果就是与外力同频. ） 这样就可以推论蛮多东西的了... 譬如说, 系统共振倾向於挑出某个频率. 水中声速大约是 1500m/s, 我看图的结果, 中心暗纹间距大约 1cm. 所以这个系统的响应频率应该是 1500 / 0.01 x 2 = 300kHz 附近. 而那些条纹很可能是「双曲线」. 双曲线的成因是一开始推一下的那个 impulse. （那个 impulse 决定了会有哪些 spatial wave 可以挑选. ） 用搅的应该就看不到这种线条了. 另外如果可以产生很均匀的柱状波, 应该就可以看到圆形的条纹. 暗纹的粗细主要是来自於 Bessel function 重合的程度. 换句话说, 暗纹的粗细应该跟锅子的尺寸有关（我对这个结果有点吃惊. ） 会改变共振的应该都会影响条纹. 所以水面放一块木板或者海绵, 可能条纹就不明显. 同样的尺寸, 但是把不锈钢锅改成木桶或者塑胶桶, 条纹应该也会变. 水深也会有影响; 把水换成油或者酒精应该也会有影响. 然後地表也有影响（这个我也很吃惊. 但是推论起来是这样... ） 放在沙发跟放在磁砖, 条纹明显的程度应该不同, 虽然位置可能差不多. 因为在「水─不锈钢─地板」那个介面有不同的穿透系数. 甚至如果把不锈钢锅放到很大很大的澡盆里面, 条纹很可能消失. （两边都是水, 中间是薄钢片, 穿透系数会很高. ） 从这个角度来说, 我倒觉得, 应该把整个锅子悬空吊起来. 大概就这样... 除此之外, 一下子也想不到别的. -- 新诗练习：新鲜。踩破初春里的狗大便；不经意的沧桑，满溢着嫩黄的喜悦。 --

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