作者JohnMash (John)
看板Physics
标题nondegenerate eigensates
时间Wed Nov 24 09:16:35 2010
我们知道一维 harmonic potential 的 Schrodinger Eq.
其 energy eigenstates 是 nondegenerate.
请证明之
(你知道 Greensite 的讲义 关於这个问题 很含混的带过)
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 112.104.129.78
1F：→ Keelungman:用 ladder operator? 11/24 09:42
2F：推 ripper:shankar 176 there is no degeneracy in 1-D bound state 11/24 09:49
3F：→ chungweitw:Ψ1 = cΨ2. 要怎麽保证 node 两侧的 c 相同? 11/24 10:53
证明有些地方需要想一下
不知有没有人想把关键处写出来
※ 编辑: JohnMash 来自: 112.104.96.100 (11/24 13:11)
4F：→ pennyleo:这个问题 赖树声量物里有证明 你去书局翻一下吧 11/24 13:58
我自己已经证明了
想看看其他人的想法
※ 编辑: JohnMash 来自: 112.104.96.100 (11/24 14:08)
5F：→ chungweitw:那你怎麽argue两侧的常数c 要相同? 11/24 14:28
6F：→ chungweitw:一般是说Ψ,Ψ' 连续, 所以..... 11/24 14:29
7F：→ chungweitw:但这似乎不显然 11/24 14:29
8F：→ nightkid:赖树声真的挺有趣的...每次来上课都不吃晚餐 只吃药= = 11/24 18:14
9F：推 xwan227770:我可以问一下三楼吗? 11/24 21:35
10F：→ xwan227770:这个问题跟node有甚麽关系? 11/24 21:35
11F：→ xwan227770:node数目应该是跟哪个能态有关系吧 11/24 21:35
12F：→ xwan227770:二楼说shankar有证明 我也觉得写得很清楚 11/24 21:36
13F：→ xwan227770:甚至别说shankar,有好几本量力都是这样算 11/24 21:36
14F：→ xwan227770:我反倒满好奇原po的问题点在哪 11/24 21:37
15F：→ chungweitw:没看过Shankar..但是一般证明就是 Ψ1Ψ2'=Ψ1'Ψ2 11/24 21:39
16F：→ chungweitw:两边同除以Ψ1Ψ2. 所以要避开 node.. 11/24 21:40
17F：→ chungweitw:得到Ψ1'/Ψ1 = Ψ2'/Ψ2. 然後积分得到 Ψ1=cΨ2 11/24 21:40
18F：→ chungweitw:假设现在有 个 node 在 A 点. 11/24 21:41
19F：→ chungweitw:那麽在A点左侧, Ψ1 = c1Ψ2; 在右侧, Ψ1=c2Ψ2. 11/24 21:42
20F：→ chungweitw:你要如何保证 c1=c2? 11/24 21:42
21F：→ chungweitw:然後一般就又说 Ψ,Ψ' 连续情况下, c1 = c2. 11/24 21:43
22F：推 xwan227770:是啊 就是那样 11/24 21:44
23F：→ chungweitw:但是我看未必..如果在node附近是 x^3 形式的话, 11/24 21:44
24F：→ xwan227770:但是那个1和2是假设的同一个能态的两个解 11/24 21:44
25F：→ chungweitw:我可以选 c1 != c2 11/24 21:44
26F：→ xwan227770:所以你换出他们只差个定值的比 11/24 21:44
27F：→ xwan227770:就得证了,因为归一化会告诉你那个c可有可无 11/24 21:45
28F：→ chungweitw:c1 != c2 的话, 就 degenerate 了 11/24 21:46
29F：→ xwan227770:node在a点?你那个等式不是边界条件 11/24 21:48
30F：→ xwan227770:是薛丁格方程假设同个E相加减出来的 11/24 21:49
31F：→ xwan227770:我知道边界也是这样算 但是这边这个等式意义不一样 11/24 21:49
32F：→ chungweitw:Ψ1=cΨ2 这等式 不能跨过 node. 11/24 21:50
33F：→ chungweitw:因为你一开始除以 Ψ1Ψ2 了. 所以 Ψ1Ψ2 !=0 11/24 21:50
34F：→ chungweitw:所以在node两侧 要用不同的比例常数 11/24 21:51
35F：→ chungweitw:然後你要证明两侧的常数会一样, 这样才能说它 11/24 21:51
36F：→ chungweitw:nondegenerate 11/24 21:51
37F：推 xwan227770:当然不会是零 要是其中一个是零 那就不是energy state 11/24 21:53
38F：→ chungweitw:不是 处处为零. 是在 node = 0 11/24 21:54
39F：→ xwan227770:而且就算你要用一个点来看 你要确定这两个波函数 11/24 21:56
40F：→ xwan227770:都可以归一化喔 11/24 21:56
41F：→ xwan227770:你已经假设1可以归一化了 11/24 21:56
42F：→ xwan227770:那2这个态在不同区间这样选能归一吗? 11/24 21:57
43F：→ chungweitw:我不知道啊. 但是要既然要证明nondegenerate, 不就是 11/24 21:57
44F：→ chungweitw:要证明 c1 = c2 ? 但是一般都只说因为Ψ,Ψ' 连续 11/24 21:57
45F：→ chungweitw:可是明显这样是不够的 ( 我举的 x^3 的例子 ) 11/24 21:58
46F：→ xwan227770:现在问题是你选c1不等於c2 11/24 21:58
47F：→ chungweitw:yes 11/24 21:59
48F：→ xwan227770:在节点的动量会发散 11/24 21:59
49F：→ chungweitw:因为 c1 != c2 is allowed...你要选 c1 = c2 就要有 11/24 21:59
50F：→ chungweitw:明确的理由. 这才叫证明.. 11/24 21:59
51F：→ xwan227770:这很怪异啊 还有就是 我觉得你最好check一下 11/24 21:59
52F：→ chungweitw:为何会发散? x^3 的例子. 微分还是零 11/24 22:00
53F：→ xwan227770:真的 能找到一对c1,c2让2归一吗? 11/24 22:00
54F：→ xwan227770:x^3=>x无限大的时候能归一? 11/24 22:00
55F：→ xwan227770:在无限远的时候粒子的机率发散? 11/24 22:01
56F：→ chungweitw:我想..总是可以归一的...归一应该不是问题 11/24 22:02
57F：→ xwan227770:而且你说微分不会发散 11/24 22:02
58F：→ chungweitw:我是说在 node 点附近刚好有 x^3 的行为.而非整个space 11/24 22:02
59F：→ xwan227770:但是那点函数就是不连续 怎麽不会发散? 11/24 22:02
60F：→ xwan227770:好比说在a点好了 11/24 22:03
61F：→ xwan227770:左边斜率3C1a^2右边3C2a^2 11/24 22:04
62F：→ chungweitw:a 点的 x = 0. ( node ) 11/24 22:05
63F：→ chungweitw:所以两侧斜率都是零 11/24 22:05
64F：→ xwan227770:总是可以归一...如果你挖掉那点node的话...当然可以 11/24 22:05
65F：→ chungweitw:我的node 没问题啊.. 11/24 22:06
66F：→ xwan227770:可是你要对任何形式的波函数你这样选都要对耶 11/24 22:06
67F：→ xwan227770:不能只有behavior如你预想的波函数才可以耶 11/24 22:07
68F：→ chungweitw:除非现在有条定理说 : Ψ Ψ' 不可能同时为零. 11/24 22:07
69F：→ chungweitw:如果有这定理. 那我就满意地接受一般书上的证明 11/24 22:08
70F：→ chungweitw:不是..你要证明 nondedenerate, 就是要考虑所有情况. 11/24 22:08
71F：→ chungweitw:就像法官判人有罪, 就要有足够证据. 否则就是无罪 11/24 22:09
72F：推 xwan227770:粒子在那个点的出现机率是零 怎麽可能定义出动量呢 11/24 22:09
73F：→ xwan227770:好 我懂你的意思了 就是你觉得special case也能这样选 11/24 22:10
74F：→ xwan227770:为啥special case就还是要那样选 11/24 22:10
75F：→ chungweitw:机率 = 0 可以有动量啊. 一般的node 都是这样 11/24 22:11
76F：→ chungweitw:但是我举的是 两者都是零的情况 11/24 22:11
77F：→ xwan227770:可是你说附近的行为是x^3 表示你是在那点附近 11/24 22:11
78F：→ chungweitw:举special case 就是数学证明的举反例啊.. 11/24 22:11
79F：→ xwan227770:做泰勒展开近似出x^3 11/24 22:11
80F：→ xwan227770:那你能保证那些high order加进来会对? 11/24 22:12
81F：→ chungweitw:因为书本写的原因是 Ψ Ψ' 连续, 所以 c1=c2. 11/24 22:12
82F：→ chungweitw:那我现在举了反例. 不能一句"一定可以这样选吗?" 来 11/24 22:12
83F：→ chungweitw:否定吧. 要说不能这样选, 应该要提出证明啊 11/24 22:13
84F：→ xwan227770:因为如果整个函数是x^3显然不是束缚态的解 11/24 22:13
85F：→ xwan227770:那麽 你说在x=0附近做展开 会近似x^3 11/24 22:14
86F：→ chungweitw:是啊. 我就是这个意思..higher order? 肯定还是零啊. 11/24 22:14
87F：→ chungweitw:x^n 微分, n >3...怎会不是零? 11/24 22:15
88F：→ chungweitw:不过我要先离开了:p..和医师有约. 11/24 22:15
89F：→ xwan227770:没关系 我能确定你这有问题 但我抓不出来 11/24 22:20
90F：→ xwan227770:满怪的 不能跨过node 那为什麽结论是可以跨过node 11/24 22:42
chungweitw 考虑得很仔细
我认为 如果0点附近的行为是x^3
但是 我们假设 |V(x)|<∞ for all finite x
并且在任何一点都可以泰勒展开 (没有pole)
ψ" 的行为是6x
而 (E-V(x))ψ 的行为是 c x^n (n≧3)
但是 Schrodinger
-(h^2)/(2m) ψ"=(E-V(x))ψ
因此 x^3 是不可能的
事实上 我们可以证明
如果 ψ 和 ψ' 在某一点为0
则ψ恒等於0
※ 编辑: JohnMash 来自: 112.104.96.5 (11/25 09:09)
91F：推 chungweitw:有道理. 感谢 11/25 10:51
92F：推 sunev:附加一点，如果位能sigular，就不能保证c1=c2了。 11/25 17:04
93F：→ sunev:着名例子是1/x，这个1-d 位能的束缚态有简并。 11/25 17:05
94F：→ xwan227770:事吗? 可是你的V(x)是个函数 11/25 20:37
95F：→ xwan227770:凑不出这个解吗? 11/25 20:37
96F：→ xwan227770:还有就是最後两句话 为什麽整个波函数都会是零? 11/25 20:39
97F：→ xwan227770:那无限位能井不就挂了 11/25 20:39
98F：推 chungweitw:凑不出来. 若V(x) is regular,则可以Taylor expansion 11/25 22:44
99F：→ chungweitw:最後两句话是微分方程解的 uniqueness theorem 11/25 22:44
100F：→ chungweitw:无限位能井里面的波函数解没有任何一点是 ψ=ψ'=0的 11/25 22:46
101F：→ xwan227770:我知道是uniqueness啊 问题是你是解eigenvalue 11/25 22:55
102F：→ xwan227770:不是像电磁学一样加出一个解 11/25 22:56
103F：→ xwan227770:是井里面啊 但是井外也是波函数的一部份 11/25 22:58
104F：推 chungweitw:given E, 就是和一般微分方程无异啊. 11/25 22:58
105F：→ xwan227770:当然反正是零 也不用管井内井外 11/25 22:58
106F：→ xwan227770:但是 物理上来看 波函数是零 那麽动量当然要是零 11/25 22:59
107F：→ xwan227770:问题是你的E不能是被GIVEN的 11/25 22:59
108F：→ xwan227770:那 这样 我很怀疑粒子不会出现在某个地方 11/25 23:00
109F：→ xwan227770:其他地方都不出现? 11/25 23:01
110F：→ chungweitw:在井外的 V 一直都是无穷大...不是continuous function 11/25 23:01
111F：→ chungweitw:uniqueness theorem 在那边不适用. 11/25 23:01
112F：→ xwan227770:电磁的唯一定理是basis线性叠加又matchB.C. 11/25 23:01
113F：→ chungweitw:所以你只能用到区间内. 11/25 23:01
114F：→ xwan227770:那weighting会是唯一 11/25 23:02
115F：→ xwan227770:但量力哪有给个边界 处在哪个状态的机率就定下来的? 11/25 23:02
116F：→ chungweitw:你解出 E 来了之後. 检查是否有可能 ψ=ψ'=0 就是 11/25 23:02
117F：→ chungweitw:given E 了 11/25 23:03
118F：→ xwan227770:这要想一下 因为归一化是物理的条件 11/25 23:05
119F：→ xwan227770:如果你给定一个E 那麽波函数的系数可以很多种 11/25 23:05
但是 我们假设 |V(x)|<∞ for all finite x
※ 编辑: JohnMash 来自: 112.104.98.253 (11/25 23:07)
120F：→ xwan227770:还是怪怪的啊 如果是在0<x<a之间位能无限 11/25 23:07
121F：→ xwan227770:这样波函数就没有解? 11/25 23:07
122F：→ xwan227770:ok 那这样我可以接受 11/25 23:09
123F：→ xwan227770:如果都是finite 那这样可以 11/25 23:09
124F：→ xwan227770:所以结论就是 波函数可以跨过node? 11/25 23:17
125F：→ xwan227770:所以是基於甚麽理由波函数不能跨过node? 11/25 23:21
126F：推 chungweitw:结论就是 If V is finite everythere,the wavefunction 11/25 23:22
127F：→ chungweitw:and its derivative are both continuous and there 11/25 23:23
128F：→ chungweitw:is no degeneracy in 1D bound system 11/25 23:23
129F：→ xwan227770:我觉得波函数可以跨过node这结论比较重要 11/26 00:10
130F：→ chungweitw:"波函数可以跨过node" 是甚麽意思? 11/26 00:20
131F：→ xwan227770:算了 这样说不好 但是我还是觉得当E给定 11/26 10:18
132F：→ xwan227770:node在哪边就给定了 11/26 10:18