作者mantour (朱子)
看板Physics
标题Re: [问题] 关於量子力学中p^2/2m=?=Ek
时间Wed Mar 24 11:59:09 2010
※ 引述《NewFreedom (时间不是奢扯品)》之铭言：
: 抱歉错了又错 重po一篇看看
: [P,H]≠0 h 就是 h-bar 我不会打 ,下面规一常数A
: for第n个state, Ψ=Asin(kx) , k=nπ/L 且 0<x<L 注意k不连续 井外波函数=0
: 将波函数写成 Ψ=A[exp(ikx)-exp(-ikx)]/2i ,0<x<L
: exp(±ikx)都是P的eigensate,而Ψ不是,所以P作用在Ψ可得
: P = hnπ/L or -hnπ/L , 机率各一半
: 且∣P∣ 只有一个值, P^2 =(±hnπ/L)^2,E = P^2/2m
: 原po把Ψ用FT积分转换,已将k视为连续,也就是L无穷宽,这样等於你把问题变成一个
: free-particle 初始波形Ψ=Asin(nπx/L) 注意他只是长的和无穷深位井的eigenstate
: 一样 , 但你已经不是在解原本的问题了,这样算出来动量当然有分布
: 且能量为连续
: 如果有错请指正,这篇就留着当错误示范 XD
我觉得这样的说法不对
Ψ当然可以做FT积分转换
无限深位井的波函数是
e^(ikx) + e(-ikx) , 0<x<a
ψ(x) = {
0 , otherwise
并不是ψ(x) ＝ e^(ikx) + e(-ikx)
在井外的空间并不是不存在，只是ψ=0
这边并不能说 ψ＝e^(ikx) + e(-ikx)，因此P有一半的机会是 kh-bar, 一半是 - kh-bar
因为
e^(ikx) , 0<x<a
ψ = {
0 , otherwise
并不是动量算符的eigenfunction
因此要计算动量的测量值的出现机率，应该把这个解对动量的eigenfunction作展开
也就是原PO所做的FT转换，得到的结果会是一个连续谱
我觉得这个问题应该出在这个解在边界上的导数不连续
在x=0和x=a的地方 d^2ψ/dx^2 不存在
如果把无限深位井看成有限位井在位能趋於无穷大时的极限
井外的位能趋近於无穷大时，井外的机率趋近於0
(σ_V)^2 可能不会趋近於 0 ( 甚至<V> 也不一定会趋近於0 )
因此 (σ_T)^2 自然也不为 0
不过因为没有实际计算过所以也不敢确定这样解释正不正确
: ※ 引述《Rogii (Rogii)》之铭言：
: : 考虑一个无穷位能井
: : 则我们能用一组波函数来描述这个系统的状态
: : 假设我们对这组波函数测量其能量,得到一能量E1
: : 和对应到能量E1的一组eigenfunction
: : 在无穷位能井中,我们能画出这组eigenfunction 对x轴的分布
: : 现在,利用fourier transformation将此组eigenfunction从 x空间表像
: : 转换到p 空间表像
: : 我们会得到一组 eigenfunction对p动量的分布
: : 试问,在无穷位能井中,因为位能=0处波函数才有值
: : 顾测量此系统的能量就可看成测量此系统的动能,在动能E1固定的情况下
: : 是否将此EIGENFUNCTION转换到P空间後,所测出的动量必满足E1=P^2/2M??
: : 但奇怪的是,为什麽已经测出一组能量,但是动量分布却没有一组固定的值呢?
: : 恳请解惑,真的想好好久=.=..............
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◆ From: 140.112.125.84
※ 编辑: mantour 来自: 140.112.125.84 (03/24 12:02)
※ 编辑: mantour 来自: 140.112.125.84 (03/24 12:20)
1F：推 caseypie:既然已经有了ψ＝e^(ikx) + e(-ikx)，那动量显然为0 03/24 12:13
2F：→ caseypie:至於最後说的近似，大可用有限位能井去逼近 03/24 12:13
3F：→ caseypie:在有限位能井的情况下，如果是考虑总能低於井深 03/24 12:14
4F：→ caseypie:则一般不会说在井外的波函数具有动量k 03/24 12:15
5F：→ caseypie:当说到一个波函数有动量如何，通常已经预设这是自由空间 03/24 12:15
6F：→ caseypie:另一种解释法是：有限位能井外部的波函数动量为虚数 03/24 12:16
7F：→ caseypie:因为指数衰减e^(-kx)可视为e^(i(ik)x) 03/24 12:17
8F：→ caseypie:直接拿这个虚数动量套用在E = p^2/2m + V 03/24 12:17
9F：→ caseypie:则可以准确得到总能量 03/24 12:18
10F：→ caseypie:如果要强行用FT展开动量分布，虽然那符合定义 03/24 12:18
11F：→ caseypie:但我认为那没有意义：它不具有任何认识物理现象的作用 03/24 12:19
12F：→ mantour:可是我关心的是系统动量的测量值，而不是波函数「看起来」 03/24 12:22
13F：→ mantour:的动量 03/24 12:22
14F：→ mantour:系统动量测量值应该只有一个值，怎麽还有分井内井外？ 03/24 12:22
15F：→ caseypie:井内外的总能相同但位能不同，那动能当然不同 03/24 12:23
16F：→ caseypie:动量又怎麽会相同？ 03/24 12:24
17F：→ mantour:所以如果用有限深位井近似，在井外位能趋近於无穷大时 03/24 12:24
18F：→ mantour:系统又不是一个粒子，怎麽会有「在井内」和在井外的时候？ 03/24 12:24
19F：→ caseypie:系统不是一个粒子不然是什麽 03/24 12:25
20F：→ mantour:我是说你不会量到系统 「在井外时的动量」 03/24 12:26
21F：→ mantour:因为你测动量的时候就不知道位置 03/24 12:26
22F：→ caseypie:为什麽不会？ 03/24 12:26
23F：→ mantour:所以如果用有限深位井去近似 03/24 12:26
24F：→ caseypie:我不是完全不知道位置啊 03/24 12:27
25F：→ mantour:在井外位能趋近於无穷大时，<V^2> - <V>^2 和 03/24 12:27
26F：→ mantour:<T^2> - <T>^2 会不会趋近於 0 ? 03/24 12:28
27F：→ mantour:我想这才是本来的问题所在 03/24 12:28
28F：→ caseypie:井外位能趋近於无穷大，那e^(-kx)的k就是无限大 03/24 12:29
29F：→ caseypie:所以直接整条波函数降到0啊 03/24 12:29
30F：→ mantour:换句话说，实际做一个很高的位井，量到的动量是连续谱 03/24 12:30
31F：→ mantour:还是二个peak 03/24 12:31
32F：→ mantour:我是说，先把<T^2>-<T>^2 写成V0 的函数 03/24 12:32
33F：→ mantour:再令V0 -> 无穷大 03/24 12:32
34F：推 caseypie:我不知道你说的「量到」是怎样的动作 03/24 12:33
35F：→ mantour:你把井外的波函数直接写成0，会造成边界上有奇点 03/24 12:33
36F：→ mantour:谢谢 我可能要再想想 :) 03/24 12:38
37F：推 caseypie:其实这让我想到我已经很久没看到动量本徵态这种叙述了 03/24 12:46
38F：→ caseypie:可能它本来就不是很实用，反正大家都用能量在讨论啊... 03/24 12:46
39F：→ mantour:我记得在某本大陆书上看过关於无限深位井的能量本徵态的 03/24 12:51
40F：→ mantour:动量分布，朗道和泡利曾经给出不同的结论 03/24 12:51
41F：→ mantour:那本书是支持连续谱的说法 03/24 12:52
42F：→ caseypie:如果你要说动量分布，我想直接FT应该是正确的 03/24 12:53
43F：→ mantour:不过书上写的也可能是错的XD 03/24 12:53
44F：→ caseypie:但是我不觉得那个结果有用就是了... 03/24 12:53
45F：→ caseypie:毕竟我们一般讨论的时候如果说动量如何 03/24 12:54
46F：→ mantour:嗯嗯 谢谢你的讨论 03/24 12:54
47F：→ caseypie:那就已经是预设为free space情况了 03/24 12:54
48F：→ caseypie:这麽客气会让我很不习惯，难道我们认识的不够久吗(装熟) 03/24 12:55
49F：推 sunev:举手，为什麽e^(ikx) , 0<x<a; 0 otherwise不是p的eigenket? 03/24 19:44
50F：→ caseypie:楼上，他不continuous啊.... 03/24 22:53