作者chungweitw (男, 穿裙)
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标题Re: [问题] 强简并之 Fermi-Dirac 气体：能量於低뜠…
时间Tue Mar 23 11:20:34 2010
※ 引述《Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)》之铭言：
: 在 p > -1 ，且 Ef >> KT => (Ef/KT) >> 1 时之低温极限下：
: ∞ 2 m 3/2 ∞ E
: N(T) = ∫ g F dE = 2πV ( ── ) ∫ ─────── dE
: 0 e FD h^2 0 (E-Ef)/kT
: e + 1
: 4πV 3/2 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4
: ≒ ── (2m) Ef [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
: 3h^3 8 Tf 640 Tf
: ※ 吴大猷的书上的四次项为 7 π^4 / 320 应该是计算错误不然就是印错
这边 T/Tf 要改成 kT/Ef.
因为 Ef 和温度有关. 所以不是 kTf
: ∞ 2 m 3/2 Ef(0) 1/2
: N(0) = ∫ g F dE = 2πV ( ── ) ∫ E dE
: 0 e FD h^2 0
: 4πV 3/2 3/2 4πV 3/2
: = ── (2m) Ef(0) = ── (2m Ef(0))
: 3h^3 3h^3
: 又粒子数守恒 N(T) = N(0)
: 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4 3/2
: Ef(T) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ] = Ef(0)
: 8 Tf 640 Tf
: 3/2 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4 -1
: Ef(T) = Ef(0) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
: 8 Tf 640 Tf
: π^2 T 2 7 π^4 T 4 -2/3
: Ef(T) = Ef(0) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
: 8 Tf 640 Tf
: π^2 T 2 π^4 T 4
: Ef(T)≒ Ef(0) [ 1 - ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
: 12 Tf 720 Tf
承上, 这边 T/Tf 要改成 kT/Ef.
: http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_energy
: 但是网页中 Free electron gas 内容中的四次项为 - π^4 / 80 不一样
写成 T/Tf 的话, 系数就会是 wikipedia 所说的这个.
( 你把上式换成正确的 kT/Ef. 再把 Ef 展开成 Ef(0)[........].
然後把 Ef(0) 换成 kTf ).
补充:
Let pi = 1, 最後再把 pi 补回去..
Let k = 1.
-(T/Ef)^2 / 12
= -( T / (Tf [1-(T/Ef)^2 / 12 + .... ] ) )^2 / 12
就会得到 一个 (T/Ef)^4 的 term, 再把 Ef 换成 Tf
( 如果你要 T^6..那就不能换成 Tf..必须再展开. 但是你只到 T^4..
所以这边就直接换了 )
U(T)一样作法. 教科书结果是对的
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 24.250.192.240
1F：→ caseypie:Ef和温度无关，和温度有关的是μ 03/23 11:22
2F：→ chungweitw:他这边的Ef 就是 mu. 他用 Ef 这符号罢了 03/23 11:23
3F：推 Frobenius:教科书把分母中的μ=Ef(T)用μ(0)=Ef(0)取代 再换成Tf 03/23 11:32
4F：→ chungweitw:如果教科书真的这样做, 那麽 教科书错了. 03/23 11:32
5F：→ chungweitw:但是教科书的结果是对的..就是用我上述方式替代 03/23 11:33
6F：→ Frobenius:但是他却可以得到正确的结果＠ 比如说比热 囧 03/23 11:33
7F：→ chungweitw:你不是用教科书的方法 得到错误的结果了吗? 03/23 11:34
8F：→ Frobenius:我去试试看^^ 03/23 11:34
9F：→ chungweitw:要用我这方法才会得到教科书正确的结果 03/23 11:34
※ 编辑: chungweitw 来自: 24.250.192.240 (03/23 20:48)
10F：推 Frobenius:感恩^^ 03/24 02:25