※ 引述《chendaolong (JoJo A Go!Go!)》之铭言： : 关於古典力学 : 能否以拉格朗日力学跟哈米尔顿力学的出发点来做探讨？ 一．拉格朗日力学 以下以[i]代替三维空间x,y,z下足标， 　　　　　　　　　　　　　　 1.位能　V=-Σ∫F[i]．dq[i] 　 i 　 2.动能　T=v^2/2m = Σ(dq[i] /dt)^2/2m 　 i 3.Lagrangian: L=T-V 拉格朗日等式： δL/δq[i] = d (δL / δ(dq[i] /dt) ) /dt -δV/δq[i]= d (δT / δ(dq[i] /dt) ) /dt F[i] = d(dq[i] /dt)/m )/dt = d^2 q[i] /d t^2 刚好就是牛顿第二运动定律。 拉格朗日等式并不排除F=0的情形，将F=0代入： 0= F[i] = d V[i] / dt dV/dt的反导函数存在，将两边积分： V[i]= 定值　　，将V[i]=dq[i]/dt用x,y,z三度空间带入， Vx = c1 (定值) Vy = c2 (定值) Vz = c3 (定值) 则F=0时，速度为定值，物体进行等速度运动，速率相同，方向不变。 　　　　 特例 0=c1=c2=c3，物体静止。 由拉格朗日等式得知，所受合力为零F=0时， 物体进行等速度运动(也含静止不动的状况)， 也就是进行速度不为零的等速度运动，或是静止不动。 二．哈米尔顿力学 Hamiltonian H=T+V 其中T与V如上一题所定义，T= Σ p[i]^2/2m i 计算哈米尔顿力学三等式： 1.δH/δq[i]=-dp[i]/dt δV/δq[i]=-dp[i]/dt =-F[i] F[i]=dp[i]/dt ..(1) 2.δH/δp[i]= dq[i]/dt =δT/δp[i] =p[i]/m ..(2) 将(2)代入(1) F[i]=dp[i]/dt = m*d^2 q[i]/dt^2 = m*a[i] ..(3) 　　　　　　　　　　　　其中a[i]是在各方向的加速度分量量值。 此等式刚好就是牛顿第二运动定律。 3.δH/δt= -δL/δt δT/δt+δV/δt= -δT/δt + δV/δt 2*δT/δt = 0 0 = δT/δt = δ(Σ v[i]^2 /2m )/ δt i 　　= Σ v[i]*a[i] /m 写成三维向量式，速度向量V=(Vx,Vy,Vz)，　加速度向量A=(Ax,Ay,Az) 　 　V．A = 0 ....(4) 在哈米尔顿力学第三等式， 　速度与加速度的内积为零。 0=Σ v[i]*a[i] /m = Σ v[i]*dv[i]/dt /m i i 等式两边都是可积分函数，对时间积分： 定值= ∫ Σ v[i]*dv[i]/dt /m *dt = Σ v[i]^2 /2m (正比於动能T) i i 能量守恒的条件下，动能为定值， Σ v[i]^2 = V^2 ..(5) 为定值，必进行等速率运动 i 考虑(4)-速度与加速度内积为零，(5)-等速率条件，分析以下可能状况： (a)速度与加速度皆不为零，则速度与加速度垂直，所受合力不为零， 　　且进行等速率运动，例如等速率圆周运动(不只这种运动,不穷举了)。 ..(6) (b)速度为零，加速度不为零，所受合力不为零 　　考虑哈弥尔顿等式所算出的等式(3)，此式刚好是牛顿第二运动定律 　　F[i]= m* dv[i]/dt ...(7) 　　但是速度为零，则各速度分量v[i]=0, dv[i]/dt=0 代入(7)， 　　发现左式不为零，右式为零，矛盾，故知(b)状况不可能存在。 (c)速度不为零，加速度为零，所受合力为零 　　考虑哈弥尔顿等式所算出的等式(3)，此式刚好是牛顿第二运动定律 　　F[i]= m* dv[i]/dt= m* a[i] = 0 将两边对时间t积分，得到 v[i] = 定值， 　　 　　Vx为定值，Vy为定值　，Vz为定值， ..(8) 　　物体进行等速度直线运动。 (d)速度为零，加速度为零，所受合力为零 　　考虑哈弥尔顿等式所算出的等式(3)，此式刚好是牛顿第二运动定律 　　F[i]= dv[i]/dt= m* a[i] = 0　 将两边对时间t积分，得到 dq[i]/dt = v[i] = 定值 = 0 　　 　　　　　　 (因为速度为零)　 将两边积分，q[i] =定值，位置固定，速度为零，物体静止。..(9) 考虑以上有解状况： (a)&(6)速度与加速度皆不为零， 　　　 所受合力不为零，等速率圆周运动 ..(10) (c)&(8)速度不为零，加速度为零 所受合力为零，等速度直线运动 ..(11) (d)&(9)速度为零，加速度为零， 所受合力为零，静止不动 ..(12) 其中所受合力为零的状况为(11)(12)， 物体可能进行速度不为零的等速度直线运动，或是静止不动。 由牛顿力学(第二运动定律)，拉格朗日力学，哈米尔顿力学， 三种不同的体系，计算合力为零的状况， 都可以推导出牛顿第一运动定律－惯性定律。 板上很多强者，对拉格朗日力学与哈米尔顿力学都比我懂得多，请多多指教。 　　　　　　　　　　 : 小弟这两部力学不是很精通 : 所以想跟大家讨论看看 : 然後再回到牛顿力学 : 检视看看牛顿三大运动定律的独立性 检验得知第一与第二运动定律，在三大力学的框架下都不是完全独立的， 第一运动定律是第二运动定律的特例。 第三运动定律其实也与第二运动定律有关联，只要把两个运动的物体的 合体以内的力当作内力，合体以外的力当作外力，分开讨论证明。 不过合体的外力与内力的观念本身似乎严格来说也是一种定义，甚至定律。 我们可以说外力与内力的观念可以证明牛顿第三运动定律， 或是牛顿第三运动定律可以证明外力与内力的观念。 因为这种证明像是绕口令，我就不多写了。 : 另外狭义相对论跟广义相对论 : 小弟认为他的出发点其实跟牛顿第一运动定律和第二运动定律很类似 : 都先阐述惯性座标系，然後再延伸到非惯性座标系 : 有没有类似拉格朗日或哈米尔顿力学的观点 : 来重新阐述相对论？ 拉格朗日观点可以很方便地使用gauge transformation得到Lorentz invariant的 叙述，所以量子电动力学课本最常用拉格朗日观点描述狭义相对论(而非其他两者)， 前几堂课会先证明与哈米尔顿力学完全等价，以後再配上一些哈米尔顿力学来描述 位置动量能量的关系。 Lagragian http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_electrodynamics#Euler-Lagrange_equations http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian#Special_relativistic_test_particle_ with_electromagnetism http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian#General_relativistic_test_particle -- ___ 6@_@9 4| |7 2 5 让我先想一想...... --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 118.160.155.106 ※ 编辑: Geigemachen 来自: 118.160.155.106 (09/07 05:07)