※ 引述《euleramon (天佑台湾)》之铭言： : ※ [本文转录自 Math 看板] : 作者: euleramon (天佑台湾) 看板: Math : 标题: [微积] 最速降线问题的物理证法 : 时间: Tue Sep 1 23:28:25 2009 : 我有几个问题希望问有经验的人，所以这里我先不叙述太多... : 最近我在研究最速降线问题， : 我知道最一般的解法是用Euler-Lagrange equation，不过这方法是後来才出现的， : 一开始解决这个问题的人是John Bernoulli，他用的是物理证法， : 後来解出来的人还有 : Isaac Newton, Jakob Bernoulli (Johann's brother), Gottfried Leibniz, : l'Hôpita(罗必达) : 下载了John Bernoulli提出的解法的一篇paper (这篇是要付费的，或是只有一些学校 : 才能下载) from wiki的reference： : "Johann Bernoulli's brachistochrone solution using Fermat's principle of least : time" : 看完这篇paper有一个很疑惑的地方，就是为什麽John Bernoulli可以把光跟力学结合 : 在一起？　一开始他用Fermat's principle的光学性质导出的differential－ dx : ，dx可以用力学能守恒导出的等式 v^2 = ay 取代?? : 难道它把光当成一个有质量的粒子吗？可是它用的是光折射， : 跟一个点从轨道滚下来有什麽关系？ 简单来说： 1.从Fermat's principle of least time可以导出snell's law， 反过来说snell's law不只适用於光学，其他求least time route的问题也可以适用。 一颗球滚下来就相当於一束光在折射率连续变化的介质中不断发生折射， 而这个连续变化的折射率则可以从下面的2.得到。 2.从力学能守恒得出v=(2gy)^0.5 3.由上面二点得出x和y满足的微分方程，解出摆线的参数式 也就是说，假设起始点为原点，y轴向下为正， 从snell's law可得 sinθ/√(2gy)=c, c is constant, 两边平方， c^2(2gy)=(sinθ)^2=[1-cos(2θ)]/2 所以y=[1-cos(2θ)]/(4c^2g) 然後从tanθ=dx/dy=(dx/dθ)(dθ/dy)=(dx/dθ)/(dy/dθ)可得， dx/dθ=tanθ(dy/dθ) =tanθ*2sin(2θ)/(4c^2g) =tanθ*4sinθcosθ/(4c^2g) =(sinθ)^2/(c^2g) =[1-cos(2θ)]/(2c^2g) 积分 x=[θ-sin(2θ)/2]/(2c^2g) =[2θ-sin(2θ)]/(4c^2g) 从上面简单的推导就可以得出摆线方程式 x=[2θ-sin(2θ)]/(4c^2g) y=[1-cos(2θ)]/(4c^2g) 剩下的未定常数c则可用另外一个点的座标求出来。 这个方法除了简单之外， 更重要的是他的参数是有物理意义的， 也就是切线和铅直线的夹角的两倍，物理图像相当的明确。 : 後来我上网也找到当初 Newton 寄给 John Bernoulli 的解 : http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Brachistochrone.html#s17 : (约在中间靠上面一点的图) : 但只有解答却没证明？　所以当初 Newton 只有解出来，而并没有附证明罗？ : 另外也很想知道其他三个人对这个问题的详解 (特别是 Jakob Bernoulli的，因为 : 有他的解才会有之後的Euler-Lagrange equation) : 希望有高手能提供那边可读到或下载这些资料... : 小弟问题很多，请版友多包涵...谢" Jakob Bernoulli方法(用现代语言描述)： 所求的问题是解t=∫ds/v=∫dx√[(1+(y')^2)/2gy] 的极值, 其中y'=dy/dx 所以Lagrangian=√[(1+(y')^2)/2gy]， 因为L不是x的显函数，所以对应的Hamiltonian是守恒量， 因此H=(δL/δy')*y'-L=const, δ是偏微分 因此 √[(1+(y')^2)/2gy]-(y')^2/√[(1+(y')^2)*2gy]=-H 两边平方整理可得 1/[(1+(y')^2)]=H^2*2gy 再由 cotθ=y'可得 sinθ=1/cscθ =1/√[1+(cotθ)^2] =1/√[1+(y')^2] 比较H的形式即可得 (sinθ)^2=H^2*2gy 得出和从snell's law所得一样的形式， 接下来用和前面一样的方法即可得解。 --

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