※ 引述《zweisteine (圣人见微以知萌)》之铭言： : ※ 引述《Monsoon (^^)》之铭言： : : 请问球壳怎麽推，我还是不会..... : : 还有球的我是这样写： : : r^2 dm = r^2 dρ(4/3)πr^3 可是这样积出来是(3/5)MR^2 请问哪里错了?? : : 拜托大家教教我，我很想弄懂 m(_ _)m : 想物理问题卡住的时候，不妨想想他背後的物理图像，对於解题会有很大的帮助。 : 既然已经知道球的转动惯量了， : 那麽这时其实已经可以完全不用积分得出球壳的结果。 : 想像把一个半径为(R+ΔR)的大球挖掉一个共同球心，半径R的小球。 : 当ΔR很小的时候，这看起来就像是一个球壳。 : 假设密度均匀，大小球和球壳的质量分别是 : 小球质量M1=M1 : 大球质量M2=M1(R+ΔR)^3/R^3=M1(1+ΔR/R)^3~M1(1+3ΔR/R) : 球壳质量=M2-M1~M1*3ΔR/R。 : 球壳的转动惯量就是大球的转动惯量减掉小球的转动惯量， : 也就是说， : I=(2/5)M2*(R+ΔR)^2-(2/5)M1*R^2 : ~(2/5)M1(1+3ΔR/R)R^2(1+2ΔR/R)-(2/5)M1*R^2 : =(2/5)M1R^2(3+2)ΔR/R : =2M1RΔR : =2/3(M1*3ΔR/R)R^2 : =2/3(M2-M1)R^2。 得证 : 回到积分的问题，积分式不会列，dm不知道要怎麽写，怎麽办呢？ : 不妨这样想： : 球壳可以拆成一堆同轴的圆环， : 这些圆环从侧面看像是梯形，从上面看是圆。 : 当圆环很细的时候，圆环上端和下端的周长几乎相同， : 这个时候它的转动惯量就很简单， : 因为所有的质点都以相同的距离绕着轴转，所以转动惯量就是Mr^2。 : 所以球壳的转动惯量就是所有圈圈的转动惯量相加。 : 用球心到每个圈圈的线以及共用轴之间的夹角θ去标示， : 则每个圈圈的半径是Rsinθ， : 每个圈圈的质量则是M(2πR^2sinθdθ)/4πR^2 : 上面这个式子要说明一下，圈圈的质量是球壳质量*(圈圈面积)/球壳面积， : 圈圈的面积是圆周长*高=(2πRsinθ)(Rdθ) : 所以把这些圆环的转动惯量全部相加就是一个积分： : π : I=∫ [M(2πR^2sinθdθ)/4πR^2](Rsinθ)^2 : 0 : π : =∫ (M/2)R^2(sinθ)^3 dθ : 0 : =(M/2)R^2*(4/3) : =(2/3)MR^2 : 从物理的图像，把球壳看成大球减小球，或是一堆圆环加起来， : 数学上的对应其实就只是微分和积分而已， : 但是从图像来切入会让问题生动许多，对於列出正确的式子也帮助非常大。 球壳的转动惯量，用对称性的话 Iz = ∫x^2+y^2 dm 积分范围是那个壳 (以z轴为转轴) Ix = ∫y^2+z^2 dm (以x轴为转轴) Iy = ∫z^2+x^2 dm (以y轴为转轴) 可是其实I=Ix=Iy=Iz => 3I=∫2(x^2+y^2+z^2)dm = 2R^2∫dm = 2M(R^2) => I = 2/3 MR^2 球体 就是差在 3I = ∫2(x^2+y^2+z^2)dm = 2∫r^2 dm = 2 (M/(4/3πR^3)) ∫ 4πr^2 * r^2 dr ^^^^^^^^^^^^^^^密度 = 6/5 M R^2 => I = 2/5MR^2 --

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