※ [本文转录自 uefang 信箱] 作者: [email protected] ("云飞-Smith") 标题: [Phys] 量子力学的发迹与远景 时间: Fri Jun 12 21:42:03 2009 作者: uefang (云飞-Smith) 站内: Uefacool 标题: [Phys] 量子力学的发迹与远景 时间: 2009/06/12 Fri 21:06:44 ※ 本文转录自 [uefang] 信箱 作者: [email protected] ([email protected]) 标题: [分享] 量子力学的发迹与远景 时间: 2009/06/12 Fri 21:05:34 作者: zmcse (zmcse) 看板: AAAAAAAA 标题: [分享] 量子力学的发迹与远景 时间: Thu Jun 11 22:15:30 2009 量子力学的发迹与远景 交大物理所 高文芳 [email protected] WORD版有图片请参照 http://www.cc.nctu.edu.tw/~wfgore/qm2003.doc 摘要 2005年已被物理界订为国际物理年，旨在纪念爱因斯坦於1905年，写下近代 物理史上最重要的一页。由於爱因斯坦反对以波耳 ( Bohr) 为首所主张， 世称哥本哈根学派的量子力学诠释法则，遂引发两造持续近30年，对量子力学 哲学基础与真正物理含意的「世纪大辩论」。 而爱因斯坦在量子力学发展过程中，所扮演的吃重角色，一直以来皆因多数人 对这段辩论历史不甚了了，尤其爱因坦辞世後，当初辩论议题之一的EPR背反 ，有了出人意表的发展，使得整个辨证主轴受到相当程度的误导而失焦。 平心而论，如果没有爱因斯坦，量子力学的发展，恐怕得晚个一、二十年。 能量的量化 19 世纪末叶、20 世纪初晓时分，物理学家发现在 10-8 公分的微观世界里， 有着与古典物理完全不同的自然现象。当年的物理学家在一片混沌中摸索前进 ，看起来就像今天心急如焚、不知所措的物理学家。 1900 年 卜朗克发现卜朗克常数 1905 年 爱因斯坦发表光量子说、特殊相对论、布朗运动 1906 年 爱因斯坦发表量子假说 1910 年 卜朗克接受量子假说 1911 年 拉塞福散射实验 1913 年 波耳原子模型 1914 年 密立根实验证实光电效应 1925 年 海森堡的矩阵力学 1924 年 迪．布罗意的物质波 1926 年 薛丁格的波动力学 1927 年 海森堡的测不准原理 ------------------------------- 量子年表 卜朗克与卜朗克常数　 　卜朗克 ( Max Planck , 1858-1947 ) 在 1900 年发现黑体辐射其 辐射能量强度 Iλ (spectral engerey intensity)，於不同辐射波长λ时， 实验室所量得的曲线图[如左图所示]， 可假设黑体辐射造成能量辐射的振子 (oscillator)，其所能携带的能量是不连续的，而且为某一固定能量的整数倍， 即 En = nhν。 其中 ν 为最低能量振子的振动频率。 卜朗克并从理论计算语实验曲线的比较中定出 卜朗克常数的数值为 h = 6.626 ×10-34 J˙s 。 但是卜朗克并不是深刻了解到他已发现了量子世界的深沉与诡异的奥秘，仍 然认为他的推论只是借用特别的数学技巧，而真正的原因，仍然有待开发、 理解。虽然如此，但是物理界依然认为卜朗克在 1900 年的贡献，在量子物理 发展史上的重要性非同小可，因此那一年被物理界公认为量子论产生的历史 时刻。 光电效应与爱因斯坦的量化假说 随後爱因斯坦 (Albert Einstein, 1979-1955) 於 1905 年发表光电效应， 提出光粒子说，并於 1906 年发表他的量子假说 (Quantum hypothesis)， 开宗明义地阐明：在真实、微观的物理世界里黑体辐射的振子，其所能携带的 能量确确实实是必须遵守量子化规则的。根据记载，卜朗克一直到 1910 年 才勉强接受爱因斯坦的这个量子假说的想法。有趣的是，卜朗克在 1914 年 还写了一篇试图以非量化能谱方式解释黑体辐射的论文，显见卜朗克还是 难以接受量子革命的创见。无独有偶，卜朗克在推荐爱因斯坦成为德国科学院士 的信函中， 还不忘批判爱因斯坦的光量子说，显然对爱因斯坦量来量去、 横冲直撞的莽撞行为颇为保留。 1914年，密立根 ( R. A. Millikan, 1863-1953 ) 原本设计实验的目的， 是想要来打击光粒子说的，却意外地证实爱因斯坦光粒子说的正确性。 实验戏剧性的发展，不但震惊物理界，并从而奠立了爱因斯坦在量子力学 发展中不可替代的的地位。 康卜吞散射效应 康卜吞 (Arthur H. Compton, 1892-1962) 在 1923 年设计了一个X光撞击 石墨靶的实验，按照古典电动力学的分析，石墨靶的电子受到电磁波的加速 ，会以相同的频率随电磁波脉动，进而由电子加速运动而产生相同波长的 电磁辐射。这种电磁辐射，称为汤普生散射 (Thompson scattering)。 康卜吞得到的实验数据，让他大吃一惊。原来根据实验数据，不但在原来和 入射光相同波长位置有测得和汤普生散射所预期的相同结果，而且在和入射 光波长不同的位置也测得一个波长较长的电磁辐射。最後康卜吞终於发现， 这个实验结果和光子说一配合，就可以合理解释。实验结果意外地提供光是 粒子的说法，一个强力的佐证，更强化量子世纪的动员力。 天文物理学家推论宇宙在大爆炸後约 30 万年前後，光子波长约在紫外线范围 ，已经不再和宇宙中的电子发生有效碰撞。 这段期间宇宙学上称为最後散射面 (LSS, Last Scattering Surface)。晚近， 天文物理学家就是希望利用这个性质，利用观测到的宇宙光子背景辐射的 细微分布，由於康卜吞散射在最後散射面时期效应并不显着，我们可藉由 汤普生散射为主的理论推演结果，反推而得宇宙在30万年前後的电子分布 (即离子气体分布) 的大域结构。 迪．布罗意的物质波与薛丁格的波动力学 1924 年，迪．布罗意 (Prince Louis de Broglie, 1892-1987) 完成他的博士论文，并在其中提出物质波的想法，起初不但没有受到重视， 论文审议委员还为了是否给他过关，而相持不下、无法达成协议。直到委员 之一的仁吉曼 (Paul Langevin, 1872-1946) 向迪．布罗意多要了一份论文 ，并直接寄给爱因斯坦，询问爱因斯坦的意见。 这篇论文不但立即引起爱因斯坦的重视，而且认为这篇论文是革命性的创举。 爱因斯坦洞烛先机的评论不但促成迪．布罗意学位的顺利完成，随後并受到 薛丁格 ( Erwin Schroedinger , 1887-1961) 的注意。 1925年冬天的圣诞假期，薛丁格在阿尔卑斯山带点异样色彩、充满传奇的、 欢乐的渡假行程里，同时巧妙地把虚数 i 带进物理学家的真实世界，完成了 现在大家所通称的波动力学 (wave mechianics) 革命。 随後，物质波的假设由戴维生 (Clinton J. Davisson, 1881-1953) 及 久曼 (Lesten H. Germer, 1896-1971) 在 1927 年间，利用电子当波源照射镍金属 发现绕射现象的实验所证实。 凡此种种，在在显见爱因斯坦在这段量子物理发展史中所扮演的关键角色， 牵动着量子物理发展的每一根重要的神经。 1925 年 海森堡的矩阵力学与海森堡、波恩、乔登三重奏 事实上，坊间的教科书及多数的通俗记载，对量子力学理论的论述，对於 爱因斯坦所扮演的重要性角色，不但多有误导之失。连关於真正开创新局的 海森堡 ( Werner Karl Heisenberg, 1901-1976 ) 在 1925 年的开创性发现 ，都因早期多数量子力学教科书先讲授薛丁格的波动力学，後讲授海森堡的 矩阵力学，而容易让一般初学者对海森堡发现矩阵力学的原创性与关键角色 ，有错误的认知。 其实由本文先前的描述也可看出，波动力学的发展历程，和整个量子观念的 成形与成长历程，有着承先启後一脉相承的因果关联，这样的记述，自然也 是说者传神，听者动容，颇为生动自然。相较於海森堡的卓知洞见，更显见 海森堡的奇人异禀。 1925 年， 受乾草热 (hay fever) 之苦的海森堡从哥廷根大学跑到北欧北海 一个寸草不生的小岛黑尔格兰(Helgoland)养病。 就在一个夕霞满天、无限美好的傍晚，海森堡迷乱的思绪正困於「山穷水尽疑无路」 之际，脑海映着无限美好的晚霞，编织着旷世的交响乐曲间，突然发现 「柳暗花明又一村」：现在大家所熟悉的矩阵力学，以其尚不成熟的原形在 海森堡的脑海中逐渐成形。 当夜，海森堡彻夜难眠，在兴奋的情绪里飞快地写下他脑海中的计算，并 尽速赶回哥廷根。在告知包立 (Wolfgang Pauli, 1900-1958 )　及 波恩 (Max Born, 1882-1970) 及波恩的学生乔登 (Pascual Jordan, 1902-1980) 。就在短短几天之内，海森堡就顺利完成了开创历史先机的矩阵力学论文。 海森堡、包立、柏恩及乔登一群人，便急着展开量子力学开疆辟土的先驱工 作。这时波恩和乔登正式引进了矩阵来处理海森堡原先的计算。海森堡、波 恩及乔登三人并合力写了後来物理界颇为脍炙人口的三重奏论文，同时确立 了海森堡挤身武林盟主的地位。 测不准原理 而脍炙人口的测不准原理，则迟至 1927 年，才由海森堡独立完成。这期间 ，海森堡还为了如何解释测不准原理，被波耳 ( Neils Bohr, 1885-1962) 骂得无法自置、终至涕泗纵横。原来，海森堡为了向波耳描述他测不准原理 的新发现，做了以下的描述： 　 「如果你想知道一个移动中的电子其所在的位置，就必须(用显微镜)送一道 可见光来照射电子。可是由於可见光的波长远大於电子的波长，所以根本量 不准其精确的位置。为了量更准却，只好用波长更短的伽傌光 (γ-ray, gamma ray) 来照电子，但是伽傌光的能量太大，会改变电子的速度，反来覆去 ，我们总是丢这个忘那个。因此他总结，我们无法藉由量测来确定电子的行进路径。 」 这个我们平常用来教学生的图解法，当海森堡尝试拿去向波耳说明时，波耳 竟然出人意表的指责海森堡上述的半古典解说法，不够革命性。原来，按照 现今大家所熟悉的哥本哈根学派 (Copenhagen School) 论述，在还没有量测前 ，根本就无法谈电子的“路径”，量测之前是一个机率分布，量测之後也是 一团机率分布，根本不该谈“路径”。 哥本哈根学派说法，完全否定古典物理的观点，其大胆及革命性甚至推翻了 一般人所谓「古典存在与古典真实」的常识。这种大胆的论述，不但引发了 「薛丁格猫」一类的背反、两难，也引起爱因斯坦强烈的反弹。爱因斯坦心 中挥之不去、无法释怀的忧虑。正如爱因斯坦的名言， 「Does the moon exist only when you look atit?」 「月亮是否只在你看着他的时候才存在？」 可以看出爱因斯坦对波耳的论点十分保留。 薛丁格猫指的是，有一个密封的箱子里有一只小白猫和一罐行将开启的毒气 瓶。观察者必须打开箱子作「测量」才会知道毒气瓶是否被打开，小白猫是 否依然活跳跳。 没打开箱子前，根据哥本哈根学派的说法，小白猫是处於多少机率存， 多少机率殁的混合状态， 和我们直观的真实有着很大的差别。 爱因斯坦的看法是，古典的真实 (reality)仍然存在，眼前雾里看花、 似不真实的结果，只是反应我们对自然界仍然缺乏更深入的了解，因此不宜 就此断言否定古典的真实的存在。 薛丁格波函数：此波非彼波 1926 年，薛丁格推广物质波的概念，发表波动力学的论文初始，大家都以为这个 波是类似水波之类的真实波动。这样的认知强烈地困扰着支持哥本哈根学派 说法的物理学家，直到柏恩、薛丁格先後指出此波非彼波，才化解了波耳的 困扰。 这之前，波耳为了说服薛丁格接受他们的说法，特地设下鸿门宴，邀请薛丁 格到哥本哈根来给一系列的演讲，想趁机逼他就范。根据记载，波耳设法「 说服」薛丁格的过程相当「暴力」：传说波耳很强势地尝试说服 (逼迫) 薛丁格放弃其波函数是有形波的想法，演讲期间尽管薛丁格极力辩解，波耳 仍然逼入人家的休憩之所，不肯离去。薛丁格不得以，终於以身体不适，卧 床逐客。不想波耳仍然不肯离去，逼得薛丁格终至泣述： 「I am sorry that I ever started to work on atomic theory」 「我对当初作原子理论研究的决定感到相当遗憾」 最後不得其法只好弃子投降，才送走了波耳这群不速之客。 总而言之，量子力学的两位先驱巨擘，先後被波耳逼得涕泗纵横，又耗费 爱因斯坦近 30 年的岁月与其争辩量子力学背後的因果与哲学，甚而搞得 物理界一分为二，各拥其主，互不相让的局面。根据记载，这期间甚至在有心人 意图调解之下，总算於普林斯顿 ( Princeton) 举行了一个意图调解的派对。 不料派对进行始末，竟然演变成双方人马各据会场一方，互不相让的场面。 爱因斯坦、波多斯基、罗森矛盾 冗长的辩论，在爱因斯坦、波多斯基 (Boris Podolsky, 1896-1966 ) 、罗森 (Nathan Rosen, 1909-1995) 等人提出 EPR 矛盾 (EPR paradox) 後，进入另一个高峰。EPR 背反谈到的是非常有趣的量子联动 (quantum coherence)，这件事情的後续发展，意外地为科幻影片中试图将人分解 再传送他处的电子传送(tele-transport) 提供了一线可行性。 原来一对由真空中引生的正负电子对，彼此的电子自旋 (spin) 会产生 同时性的联动，这样子的瞬时联动行为，依据两子力学的推论竟然和两者之间 的距离无关。两者距离再远，只要有一方被量出是自旋向上，另一方必然是 自旋向下。 因为信息 (information)的最快传输速度是光速，瞬时传输信息显然和古典因果 相违。因此，爱因斯坦认为这样的结果显然违反因果律。 这各因果背反的争议到了 1964 年贝尔 (John Bell, 1928-1990) 提出传颂一时的贝尔不等式 (Bell inequality)，才又峰回路转，有了新发展。 贝尔不等式後来於 70 年代在实验室中被用以证实，电子似乎真的有所谓量子联动 (quantum correlation)、非局域性 (non-local) 的现象。 虽然物理界对实验的结论与完整性仍有争议，但是因为爱因斯坦已经辞世多 年，同时新世代的物理学家忙着用量子力学、量子场论计算、预测各种实验 结果，看起来没什麽人仍然在意这一场曾经惊过天、动过地的世纪大辩论， 徒然留给世人的只是更多的疑问与不解。 直到 80年代初，才有人为文大声急呼，提醒大家问题的严重性与重要性。 加上科幻影及利用远距离传输人物引发物理界对远距传输的研究，让大家 接续爱因斯坦与波尔未完成的争议， 重起战火。 最後意外地发现，测不准原理 虽然无法让我们准确分析一个物品所处的真正状态，但是量子联动却意外地 补足准确分析的不足， 让远距传输有了一线生机，而且引起物理界不少关爱 的眼神。 事实上，人们对量子理论的不解与疑惑，正如费曼 (Richard Feynman, 1918-1988) 所曾下过的注脚一样困惑人心： "I think I can safely say that nobody understands the quantum theory." 「我想持平来说没有人真正了解量子理论」 而且费曼脍炙人口的路径积分，就是因为他觉得别人的量子力学怎麽看怎麽 不可思议，才自创一路的奇门术数，却意外地为 70 年代以降的高能物理 提供一个登龙奇术。 有关量子哲学的争辩传说不断，以下的传说，更加传神。传说 80 年代在 维也纳一场纪念物理大师贝多芬的演讲会上，李斯特口沫横飞地介绍量子理论 的精妙之处。讲没几分钟，台下的主持人柴可夫斯基忍不住和李斯特辩论起来。 两造禁不住激动的情绪，步步相逼，最後所有教授、博士後、研究生都在讲台下 围着忘情激辩的两位大师。[注一] 这方激动的说「不对不对，应该如此如此」那方激情地回应「不对不对，理 当这般这般」只见围观学者不住的点头，对双方所谓的「如此如此、这般这 般」都一致一样地表示赞同。 搞了近一个钟头，真理是越辩越是一头雾水。最後，柴可夫斯基恶狠狠的告 诉李斯特 「you should read the textbook」，而李斯特则不屑的回他一句 「you should do your homework」。 多世界说法 累坏了世界大导演 谈到人们对量子世界的困惑，更可由艾佛瑞兹 (Hugh Everett III, 1930-1982) 所提出的多世界说法 (many-worlds) 可见一斑。1957 年， 艾佛瑞兹提出了多世界看法：每当咱们做一次测量，世界就依可能发生 的状态与机率，分裂成不同的世界 (剧情)，由量子理论决定进入某一世界 (剧情)的机率，而每个世界 (剧情) 都等价地、独立地存在。 　 这个说法，以前说给外行人听，多半搞得看官大众一头雾水、弄得大家不着 边际。但时序进入 90 年代，商场上已有标准样品，也就是所谓的互动式CD (CDI) 在市面上发行。电影院里的观众，人手一只选择器，当蓝波面对 按阮死嘛性格的紧张时刻，一场生死格斗即将上演。突然，银幕上出现 一条单选题：请问观众朋友希望剧情依照下列哪一种模式进行： 蓝波战胜 、(2) 蓝波战败 、(3) 按阮死嘛性格战死 、(4) 蓝波战死 、(5) 莎朗史东突然出现，战事叫停。 当观众举行公民投票结束後，剧情顺应多数观众的要求而发展。　 根据类似的看法，如果时间机器存在，那你回到过去枪杀生父，就有可能， 只不过你并没有回到自己的过去，只不过是跳到另一场次的影片，枪杀的那 位「老爹」也不是你的「生父」，他不过是另一种剧情里的一个角色而已。 只不过，主宰这个多世界的上帝如来，为了适应喜欢作测量的普罗大众，要 事先编制许许多多无奇不有的剧情片段，恐怕会忙得不得了。这个多世界的 说法，会得到部份物理学家的认同，适足以说明量子世界的怪异所在。 　 　 量子力学的威力与愿景 银河飞龙-第二代 (Star Trek, the next generation) 影集中「瓶中的星舰」一集里曾有一段，描述他们电脑游戏里的虚拟人物摩 里亚提教授和他的女友芭莎罗蜜伯爵夫人，试图逃出电脑程式。几经波折， 他们终於夺得逃生艇，顺利逃出去。企业号舰长皮卡 (Jean Luc Picard) 百思不解之下，最後终於发现原来整个大逃亡仍然是在立体电脑游戏间 (holodeck) 里头进行。皮卡舰长最後感慨万千地说：谁知道我们「真实」 的世界，会不会只是别人电脑里的一段剧情呢？ 我们观察到的世界，是如此曼妙多姿，赏心悦目。当你用功的去了解他，竟 然发现这个五颜六色、充满七情六慾的大千世界竟然可以用一条或几条简单 的方程式来描绘，而其精确度竟然高达小数点以下 11 到 12位。 个人觉得，最值得探讨的，倒不是如何用简单的数学去描述这个复杂的世界， 反而是：世界真的这麽完美吗？可能吗？还是上帝有不可告人的天机！ 美国总统曾在二次大战期即将结束之时，召集美国的物理学、科学先进提出 科学发展的远景，预期、提供美国战後政府应该如何扶植民间企业发展的方 向。相当出人意表的是，听说厚厚一本白皮书，几乎没有一样与後来科技发 展的主流相符。看起来，物理学家、科学家真是百无一用。然而事实并非如 此，预测未来，本来就有太多变数。3年、5年的预测勉强可信，10 年、20 年的预测就有待商榷了。更何况，市场上发展的机制，受到有心人控制，致 使市场主流产品并非最好的产品，而是厂商最有利基的产品。 尽管如此，回观战後近 60 年的科技进展史，物理学家在半导体、计算机及 能源等三大领域里，一再扮演着开创新局的吃重角色。 而量子力学在微观系统的发威，更促成了以上三大领域惊人的成长。 简言之，日常生活之中，大大小小的电器用品，如果没有早期量子力学的发展 ，根本不可能成为事实。我们甚可断言，没有物理学家的奉献，人类的生活 根本不可能进展到今天的局面，甚至站在今天的基础上，大谈 21 世纪的愿景。 同样的，今天我们想要预测未来，多半也都会是错误的。然而没有愿景就不 会成长，我们仍然相信 有梦最美、希望相随！ 很多人都相信，全面的量子世代应该会在 21 世纪成形；量子电脑会带动 资讯网路的革命，更会刺激相关科技的突飞猛进。 相信我们将看到的，不仅仅是量变而将是骇人听闻的质变。而人类的价值 观也将随之产生巨变，到其时，微观的量子世界，将与人类甚至所有有生命 与无生命的世界，相融相合、不可割舍。 相信多数物理学家会来念物理，多少和爱因斯坦的成就有着或多或少的影响 。其实爱因斯坦真正动人心弦的成就，还不是1905 年启动量子世纪的三篇 撼动人心的论述，真正的旷世巨着，还是脍炙人口的广义相对论。广义相对论 不但把弯曲空间的美介绍给世人，让20 世纪人类的宇宙观，站在旷世巨人的 肩膀上，更显得视野辽阔、万紫千红。 正如迪拉克 (P. A. M. Dirac, 1902-1984) 对爱因斯坦的相对论所下的评语 ，可以看出广义相对论的美艳之处。他说爱因斯坦如果没有写下特殊相对论， 再等个一、二十年就会有别人起而代之，但是若非爱因斯坦写下广义相对论， 可能要再等一、两百年才会有後起之秀引领我们发现真实的宇宙。 国际纯粹物理与应用物理联盟 (International Union of Pure and Applied Physics) 已将2005年订为国际物理年，旨在纪念爱因斯坦於1905年，写下 近代物理史上最重要的一页。世界各国的物理学会，也将於 2005 年同步纪念 与庆祝这个百周年的盛事。 由於爱因斯坦反对以波耳为首所主张，世称哥本哈根学派的量子力学诠释法 则，遂而引发两造前後持续将近30年，针对量子力学哲学基础与真正物理含 意的「世纪大辩论」。而爱因斯坦在量子力学发展过程中，所扮演的吃重角 色，一直以来皆因多数人对这段辩论历史不甚了了，尤其爱因坦辞世後，当 初辩论议题之一的EPR背反，有了出人意表的发展，使得整个辨证主轴受到 相当程度的误导而失焦。平心而论，如果没有爱因斯坦，量子力学的发展， 恐怕得晚个一、二十年。 在这个充满纪念与感怀的日子里，爱因斯坦的成就更需要後世人更加真切、 更加贴切的缅怀。 [注一] 这一段的地名与人名仿效N.D. Mermin 做法，均经变装。 参考书目： Einstein's moon, by F. D. Peat, 1990, Contemporary Books, Chicago. Is the moon there when nobody looks? Reality and the quantum theory, N.D. Mermin, Physics Today, 1985, April, 38; http://xoomer.virgilio.it/baldazzi69/papers/mermin_moon.pdf Einstein, A.; Podolsky, B.; and Rosen, N. "Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?" Phys. Rev. 41, 777, 1935. 图片皆从网路上取得，如需转载，请避免图片转载或自行取得授权。 PhysLink ：http://www.physlink.com ; PhysicsWeb： http://physicsweb.org 1927 年索微议会 (取自 PhysLink, 由 PhysLink 创始者Anton Skorucak 加油添醋而成。) 由左至右： [ 第一排 ] (1) I. Langmuir, (2) M. Planck, (3) M. Curie, (4) H.A. Lorentz, (5) A. Einstein, (6) P. Langevin, (7) C.E. Guye, (8) C.T.R. Wilson, (9) O.W. Richardson [ 第二排 ] (1) P. Debye, (2) M. Knudsen, (3) W.L. Bragg, (4) H.A. Kramers, (5) P.A.M. Dirac, (6) A.H. Compton, (7) L.V. de Broglie, (8) M. Born, (9) N. Bohr [ 第三排 ] (1) A. Piccard, (2) E. Henriot, (3) P. Ehrenfest, (4) E. Herzen, (5) Th. de Donder, (6) E. Schroedinger, (7) E.Verschaffelt, (8) W. Pauli, (9) W. Heisenberg, (10) R.H. Fowler, (11) L. Brillouin. http://www.cc.nctu.edu.tw/~wfgore/qu1.html --

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