※ 引述《kamikaze0415 (will work for food)》之铭言： : ※ 引述《salvationist ( salvationist)》之铭言： : : 何以梯度场不具旋转性 : 梯度就是在告诉你,往上走这条路会最累;或是滚下去最快可以到地面的方向XD : 然而毫无疑问的 这两个方向都跟等高线垂直,recall你刚刚的等高线, : 别忘了他是一个个圆圈,是算得出旋度的,每一点的旋度向量刚好就是这 : 每一点的切线方向,那这样梯度跟旋度方向垂直的特性就再明显不过了... : then,你当然可以推广到任意形状的等高线,上面每点的切线仍然跟该点的旋度方向相同 : 而与梯度方向向量垂直,这就说明了scalar field的梯度为何不旋转了... : 因为这每一个点上的梯度方向向量就很自然的跟切线方向垂直,所以当然是不旋转的! 我想，这部分的推演有点问题 原po的问题是在问，为何纯量场取梯度後的向量场，再取其旋度场，其值为零 以数学表达之，即 ▽x(▽Ｖ) = 0 可以仔细推敲一下旋度的定义，及其内含的物理意涵 旋度并不是用和等线平行这样的概念去理解的 仁兄的解释，是在二维空间上讨论 这时，二维空间的向量场取旋度运算，其结果为纯量场 在三维空间的向量场取旋度，其结果才是向量场 (严格来说，不是纯粹的向量场，在物理上则是称为 pseudo vector field) 在四维以上空间的向量场取旋度，其结果为二阶外张量场 (以粗浅的图象理解， 二维空间的旋转，只有顺时针/逆时针方向，所以只需一个数值来表达其旋转程度； 而三维空间的旋转，因为其转轴为三度空间的某方向，故以向量表达三维空间旋转； 而四维空间的旋转，其旋转轴则有六个分量，五维空间旋转之旋转轴有十个分量....) (总括而言，向量场取旋度，其值为二阶外张量场，只不过 二维空间的二阶外张量空间与纯量空间同构，在二维空间向量场取旋度，视同为纯量场 三维空间的二阶外张量空间与向量空间同构，在三维空间向量场取旋度，视同为向量场) 我们一般在讨论旋度时，通常是在三度空间下讨论 此时，纯量场所形成的，则为等位 "面"，而非等位线 这时，整个物理图象，与仁兄所讨论的内容，则完全不同 ---------- 还有，▽x(▽Ｖ) = 0 等式，不单单只在三维空间成立 在任何维度 (二维，四维，五维.....)，上述等式亦成立 这条公式是非常强的定理 --

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