作者zweisteine (圣人见微以知萌)
看板Physics
标题Re: [题目] 一题相对论的问题
时间Sun Dec 7 21:58:34 2008
※ 引述《jojo999 ()》之铭言：
: [领域] 相对论 (题目相关领域)
: [来源] Harris Benson课本习题 (课本习题、考古题、参考书...)
: [题目]A train moves at 0.4c relative to the ground. A bullet is fired at 0.6c
: relative to the train at a target 10km(measured by ground observer)
: ahead of the train. How long does it take the bullet to reach the target
: according to observers (a) in the ground frame (b) in the bullet's frame
: (c) in the train's frame ? (Ignore gravity)
: 大意是说有一火车相对地面以 0.4c 的速度前进，然後有一子弹以相对火车
: 0.6c 发射出去，欲击中地面上的目标物。目标物和火车的距离在地面的座标系中
: 距离10公里，则分别静止在(a)地面(b)子弹(c)火车内的观察者，对子弹击中目标物
: 所需的时间为何?
: [瓶颈] (a)(b) 没问题，算出相对速度再做就OK了，但(c)小题我的作法是:
: 在火车内，地面上目标物以0.4C 向自己靠近，子弹以0.6c远离自己
: 但因为10km是在地面座标系测量的长度，所以在火车座标系中
: 长度应该是 L(train)=10KM /γ，γ=(1-0.4^2)^(-0.5)
: 再以 L(train)/(0.6c+0.4c)得出答案30.6μs，但是解答却只有除以0.6c
: 而答案则是51μs，是解答写错还是我做错? 还是我题目看错＞﹏＜
: ------------
: 附上(a) (b)答案 (a)41.3μs (b)24.4μs
: 照理来说不是在移动的越快的座标系中量测同样的两件事的时间间距会越短吗
: 所以如果是51μs就比在地面上量到的时距长了说 QQ
吵得好激烈呀...
其实有方法从(a)和(b)的答案直接看出(c)的标准答案是错的，
不过还是用最笨的土法炼钢方式从头来算一遍吧
设地面座标系用(x,t)表示，
火车座标系用(x',t')表示，
子弹座标系用(x'',t'')表示。
选取三个座标系的原点使其重合。
光速是0.3 km/μs
设子弹在t=0时以相对地面(0.4c+0.6c)/(1+0.4*0.6)=0.81c的速度从x=0射出，
所以在地面座标系t_1=10/(0.81*0.3)=41.3μs时击中靶心，
因此得到(a)的答案。
接下来最笨但是最不容易错的作法，
就是对(0,0)和(10,41.3)这两个event作Lorentz transformation，
得出(t'_1-t'_0)和(t''_1-t''_0)就是所要的答案了
又因为原点做了转换还是原点，所以要算的只有t'_1和t''_1而已。
先来算没什麽争议的子弹座标系，
t''_1=(t_1-x_1*v/c^2)/[1-(v/c)^2]^0.5
=(41.3-10*0.81/0.3)/(1-0.81^2)^0.5
=24.4μs
再来是火车座标系，只要把上面那道算式的0.81c全部换成0.4c就是答案，
t'_1=(t_1-x_1*0.4c/c^2)/(1-0.4^2)^0.5
=(41.3-10*0.4/0.3)/(1-0.4^2)^0.5
=30.6μs
解这个问题最好的方法是看出子弹座标系的24.4μs是propper time，
剩下的问题就只剩下套time dilation的公式。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.56.132
1F：推 jojo999:是讨论的好激烈吧-.- 没有人在吵啊QQ.. 12/07 22:08
2F：推 kalos1986:@@恩阿 12/07 22:09
3F：→ kalos1986:可是还是不懂自己哪里错了>< 12/07 22:10
4F：推 jojo999:其实如果不想用罗伦兹转换算的话就必须看题目是再问哪个 12/07 22:11
5F：→ jojo999:座标系就以该座标系来做，此时所有的物体速度都必须是相对 12/07 22:11
6F：→ jojo999:这个座标系，不然座标系就会跳来跳去.. 12/07 22:12
7F：→ jojo999:所以像第一小题，是以地面当座标系，因此要算出: 12/07 22:12
8F：→ jojo999:子弹对地，火车对地，靶对地的速度，再用在地面座标系量 12/07 22:13
9F：→ jojo999:测到的长度来做就不会错了 12/07 22:13
10F：推 kalos1986:感谢阿^^我想我知道自己刚刚的盲点在哪了 12/07 22:16
11F：→ kalos1986:我想盲点应该在於:我原来认为子弹一但射出,就只需考虑 12/07 22:16
12F：→ kalos1986:子弹对於火车的速度和射出时火车和靶距离 12/07 22:17
13F：→ kalos1986:然粗略来看,火车以0.1c前进或0.2c前进,都会影响最後在 12/07 22:18
14F：→ kalos1986:车上观察者在何时看到! 12/07 22:18
15F：→ kalos1986:谢谢阿!!很愉快也很有收获的讨论!! 12/07 22:18
16F：推 jojo999:我也解决我一个问题啊，没办法想要推翻解答需要很用力.囧" 12/07 22:19
17F：→ jojo999:尤其还是国外原文书的解答.. 12/07 22:20
这种解答通常都不是作者自己写的，
甚至有些根本和原作者毫无关连。
18F：推 kalos1986:哈哈,彼此加油阿!! 12/07 22:21
19F：推 jojo999:所以的确对同样的两件事情(子弹发射以及子弹和靶相遇) 12/07 22:22
20F：→ jojo999:在越快的座标系中量测到的时距就会越短.. 12/07 22:23
反例：往同方向跑得比子弹还快的座标系
对於两个不同位置的发生的事件直接套用time dilation的结论是很危险的
要套的话就一定要弄清楚哪个时间才是propper time。
※ 编辑: zweisteine 来自: 218.166.56.132 (12/07 22:46)
21F：推 jojo999:往同方跑得比子弹还快的座标系测量到的时距为什麽会比较长 12/07 22:55
22F：→ jojo999:咦..对齁..如果是同方向更快的座标系时间就膨胀了... 12/07 22:58
所以不要用「跑越快时间过得越慢」这种方式来理解time dilation，
讲难听一点这根本是科普书的胡说八道XD
两个事件之间的Δx和Δt会随不同的座标系而有所不同，
但是(cΔt)^2-(Δx)^2一定是一样的值。
如果两个events间是time-like的关系，
就一定有一个座标系可以得到Δx=0，
这时所有和它有相对速度的座标系量到的(Δx)^2一定大於零，
所以Δt一定比较长。这才是时间膨胀真正的意义。
※ 编辑: zweisteine 来自: 218.166.56.132 (12/07 23:23)
23F：推 kalos1986:推~~讲的很清楚!! 12/08 00:45
24F：推 garysu12345:我想请问这讨论串的结论 是解答的答案真的是错的吗? 12/08 01:13
25F：→ garysu12345:因为有点难看懂..所以想问 12/08 01:14
26F：推 jojo999:没错 解答写错了 12/08 01:33
27F：推 garysu12345:喔喔 原来如此 看懂了 12/08 19:08
28F：推 garysu12345:感谢z大 12/08 19:13