作者dancemoon (文少)
看板Physics
标题Re: [题目] 电磁
时间Mon Nov 17 23:34:28 2008
※ 引述《fefeking (fefeking)》之铭言：
: [领域] 电磁 (题目相关领域)
: [来源] 考古题 (课本习题、考古题、参考书...)
: [题目] 7. An infinitely long rectangular metal pipe(side a and b) is grounded, but one end, at
: x=O, is maintained at a specified potential Vo, as indicated in the following figure.
: Find the potential inside the pipe.
: '_
: [瓶颈] 无头绪 (写写自己的想法，方便大家为你解答)
↑y V=0
y=b┌───────┐
│ │
V=Vo│ │V=0
│ │
└───────┘ →x
0 V=0 x=a
电位分布与ｚ轴无关，内部无电荷，拉普拉斯方程做分离变数法，得
d^2
───Ｘ - (k^2)Ｘ = 0
d(x^2)
d^2
───Ｙ + (k^2)Ｙ = 0
d(y^2)
→ Ｙ(y)= Asin(ky) + Bcos(ky)
→ Ｘ(x)= Gsinh(k(a-x)) + Hcosh(-k(a-x))
代入边界条件
y=0,V=0 → B=0
y=b,V=0 → kb=nπ →Ｙ=Asin(nπy/b)
x=a,V=0 → H = 0 →Ｘ=Gsinh(k(a-x))
→Ｖn（x,y）= Cn sinh[nπ(a-x)/b] sin(nπy/b) , n=1,2,3...
代入最後一个边界 x=0,Ｖ=Vo
∞
→ Vo = Σ Cn sinh[nπa/b] sin(nπy/b) , 0<y<b
n=1
两边同乘sin(mπy/b)，积分由0→b
2bVo/mπ , if m为奇数
左式 = { 右式={ b*Cn*sinh[nπa/b] / 2 当m=n
0 if m为偶数 0 当m≠n
可得 Cn= 4Vo/Cn*sinh[nπa/b] , 当n为奇数
代回去 Ｖn 就是答案了。
应该没有解错吧。@@"
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