※ 引述《zweisteine (圣人见微以知萌)》之铭言： : 标题: Re: [问题] 量子力学问题 : 时间: Tue Sep 23 10:00:02 2008 : 这两个函数，Φ(X)=δ(X-X0)和Φ(X)=exp(-jwt)， : 前者动量的不确定性为无穷大，後者位置的不确定性为无穷大， : 这两个东西都完全无法用古典力学的「粒子」来描述。 : 事实上这两个东西只是Hilbert space里面不同的基底而已， : 本质上是没有不同的。 : 推 iamfire:delta function是那一个hilbert space的basis呀? 09/23 10:54 : 推 iamfire:请原po务必有空时回答一下，你所谓的hilbert space是什麽 09/23 12:47 : 推 iamfire:原po该清楚我要问的是什麽吧? 这和线代有何关系? 09/23 13:27 : → iamfire:好吧，我问清楚，distribution可以存在那个hilbert space? 09/23 13:29 : → zweisteine:请参阅我在数学板某篇高微所po的物理学家与数学家之争 09/23 14:26 : → zweisteine:这就是其中一个例子。要严格的讲数学，你说得是对的。 09/23 14:26 : → zweisteine:量子力学的架构波函数Ψ(x)就是vector|Ψ>和|x>的内积 09/23 14:37 : → zweisteine:但确实如你所说|x>这种东西根本不能存在於严格意义的 09/23 14:38 : → zweisteine:Hilbert space。这是科学界的老战文了，就讲到这里吧 09/23 14:39 讲详细一点好了，毕竟数学倾向强不是坏事。 量子力学之所以要用线性代数的架构来描述， 是因为在薛丁格的波动力学架构中， 波函数就是空间座标的函数，因此空间座标的重要性太高。 物理定律不应该随座标的选法而有所不同， 但是在波动力学架构中这件事变得不是很明显。 无法直接从波动力学的架构看出选择同样的operator的不同representation， 是不是会得出一样的结果。 因此量子力学假设所有的quantum state都是hilbert space里面的一个vector |Ψ>， 用不同的参数来描述波函数只是选择用不同的基底来展开这个向量， 所有的古典物理量都是线性算符，满足O|Ψ> =|Ψ'>， 而所有的observable都是两个向量的内积<Φ|Ψ>。 这样一来从线性代数我们很快可以知道内积不受基底选择的影响， 正好达成了第一段说的目标。 但是很快就碰到问题， 那就是完全找不到任何一组基底可以用来描述波动力学中的波函数。 这东西概念上就是把|Ψ>用x的函数来描述， 所以<x|Ψ>会给出一个x的函数Ψ(x) 严格讲数学的话： 假设|x>存在，<x|Ψ>是x的函数， 从正交性条件得出 <x'|x> =0 iff x'=/=x， 所以<x'|x>是一个除了x'=x以外处处为零的函数，定义为g(x'-x) 但是从completeness的条件 <x|Ψ> =∫dx' <x|x'> <x'|Ψ>， 得出∫dx'g(x'-x)Ψ(x')=Ψ(x)， 所以g(x'-x)是delta function，是个distribution，当然不是平方可积。 =>矛盾 由此可证不存在可以将|Ψ>展开成波函数的基底。 但是物理学家关心的只是observable是不是well-defined， Hilber space里面的state是不是well-defined根本不重要。 所以在物理上|x>是基底还是阿萨布鲁物理学家根本不关心， 重要的是波动力学下的期望值∫dxΦ*(x)Ψ(x)， 必须有∫dxΦ*(x)Ψ(x)=∫dx <Φ|x> <x|Ψ> = <Φ|Ψ>的关系。 所以|x>对於observable的运算永远是以completeness条件 1=∫dx |x> <x|的方式出现， 换句话说，如果插入了一组以上的|x>， 造成运算中出现<x'|x> =delta(x'-x)这种东西， 也一定会有一个对应的∫dx把它积掉， 所以最後的结果一定是well-defined。 物理学的计算过程中，常常出现有ambiguity甚至根本是错的展开， 其实这个计算过程已经不是数学了。 背後的道理是：我已经知道我最後算出来的结果要是well-defined， 我要的也只有这个结果， 中间的过程有错也只是我用的方法不好， 只要最後算出来的结果没有ambiguity， 我就可以相信我计算过程中所有肮脏的展开造成的问题可以全部cancel。 这个论述在数学上当然可以举出无数反例， 不过现在的物理就是这个样子， 比起理论推论过程中数学推导的严谨性，更重要的是和实验结果的比较。 物理学运用漂亮的数学得出漂亮的结果，已经是19世纪以前的事情了。 弦论漂不漂亮？就看能不能接受1+2+3+4+.....=-1/12罗XD --

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