作者microball (无华之果)
看板Physics
标题Re: [微积] 关於wave equation
时间Mon Sep 8 05:19:31 2008
我要推z大解释得很清楚
不过如果原PO不熟 Fourier 转换的话可以看下面我用变数代换的解释：
其实这个推导并没有那麽赖皮啦 XD
令D为偏微分符号，原式是
[(D/Dt)(D/Dt) -c^2(D/Dx)(D/Dx)] [u(x,t)] =0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^这一串都是算子，线性算子的运算和多项式同构
所以拆成平方差运算是没问题的
不过，用变数代换来想最不会出错
令 z=t-cx 则 t=w+z
w=t+cx, x=(w-z)/2c
因此这个代换是 1-1, onto，而且 z,w 可以看成独立变数
D/Dz = (D/Dt)-c(D/Dx)
D/Dw = (D/Dt)+c(D/Dx)
(D/Dz)(D/Dw) = (D/Dt)(D/Dt) -c^2(D/Dx)(D/Dx) 这个等式是算子的等式
所以由原式 (D/Dz)(D/Dw) [u(z,w)] = 0 <============ u(z,w) = f(z) + g(w)
这是单向的！
稍微改写一下令 Z=(-c)*z, W=(-c)*w 整理得到
u(Z,W) = F(x-ct) + G(x+ct) ===> [(D/Dt)(D/Dt)-c^2(D/Dx)(D/Dx)] [u(x,t)] =0
<<Remark>>
(1) 之所以物理学家喜欢 (Z,W) 的代换，稍稍胜过 (z,w) 的代换
是因为可以想像物理意义...
(2) 另一个方向有没有成立还要想想看...
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也许有一天，我们会很有默契的知道，
该各自往人生的路走下去，尽管舍不得对方的陪伴。
又也许，那一天一直不会来到，
那我们就拥有童话般的结局──永远在一起了。
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