※ [本文转录自 Math 看板] 作者: Intercome (今天的我小帅) 看板: Math 标题: Re: [分析] 为什麽要用张量 ??? 时间: Fri Apr 11 01:33:22 2008 ※ 引述《newid123 (.)》之铭言： : 大家好, 我在市面上有看到蛮多张量分析的书, : 我的疑问不是在那些复杂的计算, 而是 ... 为什麽 ? : 假如不用张量会解决不了问题吗 ? : 我的问题在於why, 而不在於how, : 我知道会有人说, "因为某某问题要用张量解, 因为相对论是用张量分析 ......" : 但是这样的回答只是在回答how, 却没有回答why, 有人可以帮我解答吗 广义相对论是将牛顿的万有引力定律包含在狭义相对论的原有框架中， 引力场和加速场是等效。把太空船舱放在引力场中的, 和它在无引力场的太空中作加速 度运动时, 这两种状况下的舱内物理环境, 可以等同视之。而探讨此问题需要考虑到有 名的"弦论"， 弦论（String Theory）是这十几年来席卷理论物理的一场大风暴， 它的威力之强与性质之奇都是前所未见的。相信弦论的人将其视为「最终理论」， 认定它涵盖了所有基本物理现象。有这种大气魄的理论不多，其中多数已经「阵亡」。 只有弦论生命力强韧，不仅生存下来，还成为学术的主流。今日当红的高能理论物理学 家大多是弦论专家，盼望成为下一个爱因斯坦的学生也一窝蜂地拥抱弦论。 弦论唯一的弱点在於至今还没有任何实验证据的支持。颇违逆传统地，这个理应致命的 弱点却没有妨碍弦论的霸业。要了解如此奇特的现象得从弦论的起源讲起。一个标准的 故事是这样的：二十世纪物理有两大基石——量子力学和相对论。前者处理微观世界的 现象；从分子、原子以下到最小的基本粒子，其性质与行为，都可以用量子力学方程式 精准的描述。在这个架构下，基本粒子是没有大小的点粒子。至目前止，无数的理论预 测与实验结果都还没有相互抵触。 张量的概念是从向量的概念中产生出来的。用一个类比来开始对张量的讨论。设想在一 个理想的金融世界中，各国货币的交换有稳定汇率，没有税金、手续费等等扣除。假设 把154.72美元换成另一国的货币，再换成另外一国的货币，如此继续下去。从每个不同 的国家得到数量不等的钱，然而都和原来的154.72美元价值相同。所有这些钱有着相等 的关系。在某种意义上，这些不同国家的不同数量的钱代表了一种抽象的客观的「价值 」，可以认为这种价值是不依赖於货币的。把一种货币换成另一种货币的数学规则有两 个重要性质。第一，如果从一种货币开始，经过多次交换之後又回到原来的货币，那麽 最後得到的钱与开始时的钱的数量是一样的。为说明第二个性质，假定开始时在3个信封 内装了数量分别为A、B、C的货币。比如说，A是12比塞塔(peseta,西班牙货币单位)，B 是4比塞塔，C是11比塞塔，因而2A＋5B=4C. 那麽在分别换成另一种别的货币後，它们的 数量间仍有上面的关系。这种关系与使用哪种货币是无关的。 在向量分析中，向量表现为一种可以用箭矢表示并能按平行四边形法则相结合的量。由 於这个法则，向量有分量，而且当坐标系改变的时候，向量的分量按照由平行四边形法 则导出的一种数学变换规律而变换。这种分量的变换规律有两个重要性质︰1.如果从一 个特殊的坐标系出发，经过一系列坐标变换又回到原来的坐标系，最终得到的向量分量 与开始时是一样的。2.设有三个向量U、V、W,满足2U＋5V=4W. 那麽分量也具有这种关系 ，不论我们用的是哪个坐标系。因而可以把向量设想为n维空间中具有n个分量的一个量， 这些分量按照具有上述性质的变换规律进行变换，而向量本身则是不依赖於坐标系的客 观的量。 从向量推广到张量的步骤是这样的︰抽象地定义张量为具有分量的一个客观量，这些分 量按照一种变换规律进行变化。这个变换规律是向量变换规律的推广，它保存了原有的 两个关键性质。为了方便，坐标用从1到n的数目编号(n维空间)，而一个张量的各个分量 用一个具有上标和下标的字母来表示，每一个上标或下标可以独立地取从1到n中的数值 。这样，用分量Tabc来表示的一 个张量就有n3个分量，因为字母a、b、c分别可以取1到 n中的任何值。标量和向量都是张量的特例，标量是零阶张量，它在每个坐标系中只有n0 =1个分量，向量是1阶张量，它有n1=n个分量。张量的分量间的任何线性关系，例如 7Rabcd＋2Sabcd-3Tabcd=0,只要在一个坐标系中成立就在所有坐标系中成立，因而这种 关系就是客观的和不依赖於坐标系的，尽管我们缺少可以表现这种关系的图形。有两种 张量，度量张量和曲率张量，特别使人感兴趣。度量张量是用於把向量的分量转换成向 量的长度。为简单起见，考虑具有垂直坐标的二维情形。设向量V具有分量V1和V2。对直 角三角形OAP应用毕达哥拉斯定理，可以求出V的长度的平方︰OP2=(V1)2＋(V2)2.度量张 量就隐藏在这个方程里，把方程重写成︰OP2=1(V1)2＋0V1V2＋0V2V1＋1(V2)2,度量张量 的分量在这里是1、0、0、1.如果使用非直交坐标系，OP2的表达式的一般形式是︰OP2= g11(V1)2＋g12V1V2＋g21V2V1＋g22(V2)2,其中g11、g12、g21、g22是度量张量的新分量 。从度量张量可以构造出曲率张量这一复杂的张量。这种张量代表了n维空间的内蕴曲率 的各个方面。 张量在几何与物理中有许多应用。爱因斯坦在建立广义相对论时曾论证道，物理定律必 在任何坐标系中都是相同的。这导致他用张量方程来表达物理定律。从他的狭义相对论 已经知道，时间和空间非常紧密地相互关联，形成了一个不可分割的四维时空。爱因斯 坦作了一个重要判断，这就是引力应该只由四维时空的度量张量来确定。为了表达相对 论的引力定律，他以度量张量及由之产生的曲率张量为构成因素，广义相对论的一个美 妙之处就在於爱因斯坦只使用上述构成因素，使他导出了一个在这种条件下本质上是唯 一的关於引力定律的张量方程。在其中引力不是作为一种力出现，而是作为时空曲率的 一种表现形式。人们早已经对张量进行过研究，然而爱因斯坦广义相对论的成功引起了 数学家和物理学家对於张量及其应用的更广泛的兴趣。 --

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