作者mantour (朱子)
看板Physics
标题Re: [题目] 无穷网格电阻
时间Sun Apr 6 12:39:40 2008
我觉得这个解法只要稍微modify一下就可以勉强接受
※ 引述《TellthEtRee (加盖是一种艺术)》之铭言：
※ 引述《shmily000 (爱雪儿)》之铭言：
: [领域] 高中物理电流 (题目相关领域)
: [来源] 参考书 (课本习题、考古题、参考书...)
: [题目] 如下
: [瓶颈] 完全不懂 (写写自己的想法，方便大家为你解答)
: [_]_]_]_] 正方形无限大扁平导线网路
: [_]_]_]_] 每两个相邻交点间的金属丝电阻都等於 r
: [_]_]_]_] 试证相邻两点接入电路时
: [_]_]_]_] 等效电路大小为 r/2
: [_]_]_]_]
1.先假设电路网最外围一圈的每个点是接地的，下图红十字中央接电压V/2
电流由中央进去，由无穷远处流出
[
_]_]_]_]
[_
]_]_]_]
电流I由红十字的中央进入时，四个方向分流都是 I/4
2.再来中央接电压-V/2，电流由无穷远处流入，中央流出
[_]
_]_]_]
[_]_
]_]_]
电流I从绿十字的中央出来时，四个分流也都是 I/4
3.
1.和2.叠加，
在这里如果可以接受1.和2.在无穷远处造成的电流大小相等，方向相反，
则叠加後在无穷远的接地处是没有电流进出的，形同没有接地，电流由相邻的
一点流入，另一点流出。
此时两点间的电位差 V = r*I/2
因此此电路网(没有接地)，相邻两点间的等效电阻为 r/2
以上讨论中的争议处在於最後叠加起来时，无穷远处的电流是否真的可以互相抵消
个人认为这个题目问题在於其实它对无穷大电路网的定义是不明的
因为要问一个无穷大电路网的电阻，应该要把它视为一个数列的极限，
也就是应该要定义电路网是怎麽往外加大的，才会有一个明确的答案
举例来说 如果电路网是 3*6 , 4*8 , ... , n*2n 这样加上去
和电路网是 n*n 加上去，都是无穷大，但是对称性就一定不一样
如果是前者，那上面讨论中假设的四个方向电流一样的对称性就不一定会成立
(应该不会成立吧)
而且我认为这两种情况最後取极限的电阻应该是不一样的
有人有兴趣算看看吗？
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◆ From: 218.169.238.35
1F：推 deo2000:一开始的假设就违反KCL了 04/06 10:56
2F：→ TellthEtRee:没错@@ 每次学生问这题我都觉得有点虚...但问一下其他 04/06 11:12
3F：→ TellthEtRee:高中物理老师也是都这样解..学生只要有答也不会多问了 04/06 11:14
4F：→ TellthEtRee:还望请各位前辈提供比较严谨的解法^^ 04/06 11:16
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◆ From: 61.57.65.20
※ 编辑: mantour 来自: 61.57.65.20 (04/06 12:42)
5F：推 eddycurrent:为什麽能假设外围每一点都接地？电流怎麽有无穷远处？ 04/06 12:45
6F：→ chungweitw:我认为只要无穷大, 四个方向的I都会一样. 04/06 13:43
7F：→ chungweitw:无穷远处的电流 -> 0 04/06 13:44
8F：→ chungweitw:这做法应该没问题. Aitchison 就是这样做的 04/06 13:45
9F：→ mantour:我的想法是 无穷大电路网应该理解为 一系列size愈来愈大的 04/06 14:05
10F：→ mantour:电路网的极限 04/06 14:06
11F：→ mantour:也就是我做一个10*10的电路网，看它中心两点间的电阻 04/06 14:06
12F：→ chungweitw:但是只要四个方向都无穷大, 那麽你可以做一个 cutoff. 04/06 14:07
13F：→ mantour:再做100*100 1000*1000 的电阻，最後看会不会收敛於一个值 04/06 14:07
14F：→ chungweitw:这个 cutoff 在四个方向一样大. 这样就可以用对称性. 04/06 14:07
15F：→ chungweitw:严格来说..当然要看会不会收敛. 我相信是会:p 04/06 14:08
16F：→ chungweitw:至少 1 维会. 04/06 14:09
17F：→ mantour:我还是觉得长宽比不一样的话最後收敛的值会不一样 04/06 14:14
18F：→ mantour:还有回答一楼 因为我的推论一直是当作有限大，最後才取极 04/06 14:16
19F：→ mantour:限 所以没有无穷远的问题 04/06 14:17
20F：→ mantour:另外我当然可以接地 ， 但是最後我要说明 最外面接不接地 04/06 14:17
21F：→ mantour:结果一样 (因为最後接地处没有电流) 04/06 14:18