※ 引述《shmily000 (爱雪儿)》之铭言： : 2 : Suppose that matrix A is diagonalizable , prove that matrix A is : also diagonalizable . 如果A是任何矩阵的话, 该命题不一定成立 [0 0] [0 0] Ex: A = [1 0] , A^2 =[0 0] A^2 is diagonalizable but A is not.(虽然这例子有点鸟..) 依据breedy大的建议, 如果再加上A^2(或是A,同时成立)是invertible的条件 ,则该命题是对的 大致上的想法: (虽然原题的A是matrix, 不过当成 linear operator 处理也一样) 令{λ_i},{v_i}各为A^2 eigenvalues和eigenvectors 由於A^2是invertible, 所以{λ_i} 皆不为0 由 A^3(v_i) = A^2(A)(v_i) = A(A^2)(v_i) = λ_i*A(v_i) 可以看出 A(v_i) 也是 A^2 的 eigenvector, eigenvalue 为 λ_i 这时就有两种情况 : (1) eigenvalue 为 λ_i 之 eigenspace 为 1-dimension : 此时 A(v_i) = a_i*v_i for some constant a_i 代入 A^2(v_i) = A(A(v_i)) = A(a_i*v_i) = (a_i^2)*v_i 因 A^2(v_i) = λ_i*v_i, 所以 a_i^2 = λ_i (2) eigenvalue 为 λ_i 之 eigenspace 为 m-dimension (m > 1): 令此 eigenspace 为 V , 则对所有 V 中之 vector v , 有 A^2(v) = λ_i*v 令 U = {v belong to V | Av = αv }, W = {v belong to U | Av = βv } 其中α,β 为 x^2 = λ_i 之两根, 则 V,W 皆为 U 之 subspace claim : V = U ⊕ W (direct sum) (i) 若 v 在 V∩W 中, 则 αv = Av = βv => v = 0 (因α不等於β且皆不为零) 所以 U∩W = {0} (ii) 对任意 V 中之 v, 因 v = (α-β)^(-1){(Av + αv) - (Av + βv)} 其中(Av + αv)属於 U , (Av + βv)属於 W, 因此 V = U + W 从(i)(ii)可以得到 V = U ⊕ W, 因此我们知道当 A 限制在 V 上时, 可以任意取 U 中之 basis {u_(i,m)}, W 中之 basis {w_(i,n)} 从而 {u_(i,m),w_(i,n)}构成一组 A 在 V 上 之 eigenbasis 最後从(1)(2)的讨论中我们可以知道如何取出一组 A 的 eigenbasis 因此 A 是 diagonalizable -- 打好久...符号真不好打, 讲法也一再修改 不知道这样讲合不合适..有错请指正罗

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 61.216.98.208 ※ 编辑: megagoddog 来自: 61.216.99.106 (03/15 04:20)