作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)
看板Physics
标题Re: [问题] 请问一题积分
时间Fri Dec 14 02:24:42 2007
※ 引述《[email protected] (人蔘如梦)》之铭言：
: > 发信人: [email protected] (唏嘘的高级伴读书뤠看板: Physics
: > 标 题: Re: [问题] 请问一题积分
: > 不是发散喔
: > 这类积分在统计力学里面很常见
: > 这个值是sqrt(pi)/2*zeta(3/2)=2.31516
: 现在问这个可能有点迟，
: 不过可不可以请问一下，
: 这个值是怎麽算出来的呀？
: 是用什麽样的技巧，为什麽会得出这个奇怪的解？
1/2
∞ x e^(-x) ∞ 1/2 ∞ -nx ∞ ∞ 1/2 -nx
= ∫ ------------- dx = ∫ x Σ e dx = Σ ∫ x e dx
0 1 - e^(-x) 0 n=1 n=1 0
1/2 1/2 1/2 1/2
( Let z = nx，dz = ndx，dx = (1/n)dz，x = (z/n) = z / n )
∞ ∞ z^(1/2) -z 1 ∞ 1 ∞ 1/2 -z
= Σ ∫ --------- e - dz = Σ ---------∫ z e dz
n=1 0 n^(1/2) n n=1 n^(3/2) 0
∞ 1 ∞ (3/2) - 1 -z
= Σ ---------∫ z e dz
n=1 n^(3/2) 0
= Zeta(3/2) Γ(3/2) = Zeta(3/2) (1/2)! = (1/2) Zeta(3/2) (-1/2)!
__
√π
= ---- Zeta(3/2) ≒ 2.31516
2
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.122.225.109
1F：推 Linderman:好文都没人推,哀, 12/15 13:50
2F：→ Frobenius:谢谢^^ 12/16 00:11
3F：推 theory:我觉得原PO一定打了很久 XD 这些方程式真的很难打.. 12/16 01:25
4F：推 andrew777:好人都没人推,唉 12/16 01:27
5F：→ theory:"没有功劳也有苦劳~没有苦劳也有疲劳~您说是不是~" XD 12/16 01:26
6F：→ Frobenius:谢谢你们的支持^^ 12/17 02:35
7F：推 s23325522:真用心 推依个 03/04 13:51