※ 引述《[email protected] (风雨兼程)》之铭言： : ※ 引述《[email protected] (lose yourself)》之铭言： : : 第二章一开始讲的座标转换 有个地方我看了两遍还是不懂他想表达的是什麽 : : 式子(2.7)上面的句子 : At usual we limit ourself to orthogonal coordinates : : which means gij=0 , i!=j (Exercise2.1.1) : 翻译一下: : 通常我们限制在正交座标，也就是说　gij=0　，ｉ不等於ｊ : : 於是我就去看习题2.1.1 心里想着大概是要我们证明gij=0 , i!=j : : 恩 没错 , 他是要我们证明当我们把焦点放在orthogonal coordinates时 : : 会implies gij=0 , i!=j : 从最基本的内积定义着手， : 如果你一开始选择的是正交座标，垂直的两个基底， : 夹角余弦一定是零，最後只会留下　i = j 的项　。 补充一下 这边gij=(位置向量r对qi偏微分)内积(位置向量r对qj偏微分) 我想我要弄清楚的大概是这两个向量的物理意义 , 我想了一下 解释如下 这向量r在qi方向的微小改变向量 与其在qj方向微小改变向量之内积为0 for i!=j 若q为我们熟悉的卡氏座标 , 这句话我没问题 就是你所说的那样 若今天是非卡氏座标q 若q正交 , 这两个向量内积为零 for i!=j 直接用直观想像把在卡氏座标成立的(向量r在qi方向的微小改变向量 与另一个 垂直方向qj的微小改变向量内积为零) 在非卡氏座标也成立 我比较想看能不能够有比较数学上的证明 : : 但是看了习题後我更困惑 , 他的hint为什麽要我们那样做 也无法体会 : : 想要直接证明我就从他最先说的orthogonal定义开始 : : 他说只要有dqi*dqj!=0 for i!=j : : 我就得到式子(2.8) 结果当然是证不出来 : : 请问高手们 如何解决这问题呢? : : 我越看只有越不知道他在讨论什麽了 以及目的是什麽了 : 这里用到的概念几乎都是高中的向量即可， : 因为它就是单纯的讨论欧氏空间，不必想得太复杂。 : 如果你采用的是斜角座标，就不会有这种特性， : 但是直角座标（以及其他正交座标），显然形式上简单多了。 我转述一下他的hint: { 考虑一个三边长为ds1, ds2 , ds3的三角形 式子(2.9)在不管gij=0 与否都成立 利用law of cosines计算 然後比较式子(2.5)的ds . 证明 cos(theta12)=g12/根号(g11*g22) } 式子(2.9)是 dsi=hi*dqi 向量r对qi偏微分=hi*(qi单位向量) 式子(2.5)是 ds^2=summation(gij*dqi*dqj) over i,j PS.hi^2=gii --

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