我想仔细的讨论这个问题需要用到一点微积分和order的观念 首先我们要理解到 事实上a是一直随时间而变的 所以某一瞬时的 a 其实只作用了一段无限小的时间 因此其造成的改变也是无限小的 如果我们要计算一段t=0 ~ t=t 之间a造成的变化的话 我们要做的事就是把t=0~t=t分成无限多段无限小的时间 其中每一小段所造成的变化都是无限小 然後把这无限多段所造成的无限小的变化加起来的结果可能有三种可能 1. 无限小 2. 等於某个不为0的值 3. 无限大 这取决於每一小段中所造成的「无穷小」的变化到底是多小 简单来说 如果把0~t分成N小段，每一小段Δt = t/N 如果每一小段Δt中造成的变化正比於Δt的一次方时(也就是正比於1/N) 那N段加起来(大约是乘以N倍), 当N趋於无穷大时 就会趋於某个不是无穷小的值 如果每一小段Δt中造成的变化正比於Δt的二次方或以上(正比於1/N^2 或以上) 那N段加起来，还是正比於1/N , 因此当N趋於无穷大时(分成无穷多段) 总和是无穷小 同样的 如果每一小段的变化正比於 √Δt 的话 可以预期，造成的总变化，会是无穷大 因此我们了解到 同样是无穷小，还是有分等级的，这就是我所说的order的观念 接着我们可以分析在 a 作用一小段时间 Δt 後 对v的大小和方向造成的改变属於哪一个order aΔt <---- ^ | | v | | 因此v的大小改变量为 Δv = √(v^2 + a^2 Δt^2 ) - v 方向(以角度表示)的改变量为 Δθ = tan (aΔt/v) 其中 √(v^2 + a^2 Δt^2 ) 用二项式展开 大约等於 v ( 1 + 1/2 a^2Δt^2/v^2 ) 因此 Δv = 1/2 a^2 Δt^2/v + (Δt的三次方以上的项) 而 Δθ 的展开 则大约等於 (当角度很小时tanθ约等於θ) a Δt/v + (Δt的二次方以上的项) 因此在0~t之间 令Δt趋近於无穷小，再把这无穷多段Δt加起来的总贡献 ΣΔv = 0 ΣΔθ = a/v ΣΔt = a/v t 因此结论是 圆周运动时 , 向心力造成的贡献事实上只有方向上的改变 没有大小上的改变 这是因为当a与v垂直时 在无限小的时间Δt 内 造成的速度大小变化是正比於Δt的平方或以上 属於第二级的无穷小量 (你可以想成是正比於无穷小的平方) 由前面的讨论，我们知道当Δt趋於0时， 这样的变化(正比於Δt的二次方或以上)在一段时间内累积起来还是0 (想成 无穷多个无穷小平方加起来还是无穷小) 你可以自己试试看分析当a与v不垂直时(假设夹角为α) 你会发现在无限小的时间内造成的速度大小变化 算出来的第一项就会含有Δt的一次方项 (正比於无穷小的一次方) (如果没算错，这一项应该会是a cosαΔt) 因此当a与v不垂直时在一段时间内造成v的大小改变量的总和就不为0 (无穷多个无穷小的一次方加起来等於某个不为0的值) 而且造成的改变量正比於 a cosα, 也就是正比於a在平行v方向上的分量 ※ 引述《Arton0306 (科学主义)》之铭言： : ※ 引述《Arton0306 (科学主义)》之铭言： : : 等速圆周运动 : : 其加速度和运动方向垂直且指向圆心 : : 我的问题是 : : a : : <---^ : : | : : | v : : 圆心o | : : 如果a是指向圆心的方向 : : 那麽向量v加上向量a : : 其长度会比|v|还长 这样的话速度不就增加了吗?? : : 请问这样的想法盲点在哪里呢?? : 推 idyllic:因为垂直，还有很小...很小... 07/01 15:16 : → windygod:座标独立性 垂直的加速度改变方向 水平加速度改变大小 07/01 15:40 : 抱歉呀 还是不懂@@" : 垂直的加速度改变方向 水平加速度改变大小 : 这似乎是把xy座标分开来看 : 但我的问题是为什麽速率没有增加呢？ : 就像将一物水平丢出 其水平分量速率是不变的 但总速率因重力是会增加的 : 将我上面画的图的v看成水平丢出 a看成重力 那麽速率应该会增加 --

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