※ 引述《federal (federal)》之铭言： : ※ 引述《skyrmion (meron)》之铭言： : : 在 square lattice 上呢，Neel state 真的是 ground state。 To federal: 跟你的讨论非常有意思，可以帮助我把一些事情想得更清楚。 (PS. 回文有些用词太随意的地分，也请多包含 :) 我觉得你对凝聚态物理的了解也很深入，希望大家以後能多讨论。 这里我想再讨论一下这个 2D bipartite lattice 的 case， (很多东西，我猜你都知道了，习惯性讲讲:) 考虑一维 S=1/2 反铁磁的 Neel order: |Neel> = |+ - + - + - ....>, 就像你说的，这个态是 Ising model 的基态，因为对每个 site 而言， |+>, |-> 是 Sz 的 eigenstate。而 Ising model: H=Σ Sz(n)*Sz(n+1). 但是 Heisenberg model 还有 Sx(n)*Sx(n+1) + Sy(n)*Sy(n+1), 它可以被写成 (1/2)*(S+(n)*S_(n+1) + S_(n)*S+(n+1)). S+,S_ 作用如下: S+|-> = |+>, S_|+> = |->。 所以加上这两项後，|Neel> 就不是 Heisenberg model 的一个 exact eigenstate。 (如你所述)。所以我们考虑当 S 大一点的时候，基态|Φ>是否有 Neel order。 意思就是 <Φ|Neel>≠0。 (or, |Φ> = α |Neel> + ...，and α≠0). 用 large-S 考虑 magnon 的贡献，在二维的情况下，我记得 2D Heisenbeg spin 的 Neel order 是稳定的 (一维就连 large-S 的 Neel order 都无法逃过 quantum fluctuation 了, 因为有类似这样的积分∫dk/k，infrared divergence)。 自从 Anderson 提出 RVB 後，有好长一段时间，大家都怀疑 2D square lattice S=1/2 (所以绝对不是 large-S) Heisenberg spin 的基态应该是 RVB。 但都是一些 argument 而已。直到一阵子前，才有 Numerical 的证据说 连 S=1/2 的 (quantum extreme) Heisenberg spin，其基态也有 Neel order。 我印象中，理论上是 Numerical 的结果，另外实验上也有类似的发现(不确定)， 如果找到相关的 paper 我在推文给你 但是我推荐这篇文章 Senthil et al., Science, Vol. 303. pp. 1490 (2004)。 这个 Senthil 最近红的不得了，被 Nature 在 2005 (老爱的1905 miraculous year 一百周年庆) 连同其他三人被选为下一个 Einstein。 他们这篇文章(没有太多技术上的细节)，主要想解决的就是高温超导的系统， 在没有 Doping 前，是一个 S=1/2 的 Antiferromagnet Heisenberg 系统。 他们讨论的就是这个系统怎麽从 Neel order 相变到一个 VBC (Valence Bond Crystal) 的态。VBC 是一种特别的 RVB，一样都没有 spin order (<S>=0)， 但是有 bond order。VBC 还特别在，它的 bond 分布有 break translational symmetry (hence called crystal)。另外值得一提的是，这个相变，他们声称 是传统的 Landau-Ginzburg-Wilson架构所不能解释的。 (Another attemp to go "beyond Landau":)。 也许你已经注意到这篇文章了，我觉得挺值得看看的。 : Neel state 是 Ising model 的 ground state. 但考量到 Sx*Sx, Sy*Sy : Neel state 几乎不太可能是 AF Heisenberg model之 eigen state. : 在 Total Sz=0 时, state degeneracy 是最大. : 正因为我们不知道 exact ground state : 所以我们猜 Neel state(当然还有许多ground state的证明) : 为计算某些 excitation(像 magnon)的出发点 : 所以, 你的意思是有人证明了 : For 2D AF Heisenberg model on any bipartite lattices. : H\psi=Eg\psi : where \psi is the Neel state and Eg is the ground state energy. : 这我就不知道. : 这我特别好奇 : 可否稍微解释一下 或是ˋ有paper说这件事吗 : : 这已经被证明了，它的 M 值也确实比 S 小，原因就是 quantum fluctuation。 : : 小多少呢 ? 我想你应该知道怎麽算，我也不多说了。 : : 但是，我想指出的是 M<S (S就是 saturation 的 M)，就是因为每个 magnon : : 的 effective number = 1/2，然後他携带一定程度的 m。 : : 最後的 M = S － (被这些 n=1/2 的 magnons 带着的 m)。 : : 你不能误导其他版友，quantum fluctuation 是跟"数学"或"哪个理论"无关的。 : Sure, 我那说的不太对, 其实只要是考虑到quantum effec对 classic situation : 的影响都应该算是 quantum fluctuation. 我太把 quantum fluctuation 着重在 : symmetry broke 角度上了. : : 当温度够低时，thermal fluctuation 开始减弱，quantum 的扰动就会越来越显着。 : : Quantum fluctuation 的物理基础是测不准原理，绝对不是甚麽数学的想像。 : : Neel state 在某些 2D 晶格上倒是真的不是基态，像是 triangular lattice， : : 其基态似乎就是 Phil Anderson 讲的 RVB (Resonant Valence Bond)。 : : 一般的看法反倒是，Neel State 在这些晶格上不是稳态的原因， : : 就是被 Quantum fluctuation 给摧毁的。 : : 另外，上述讨论是真的都是 T=0 的基态，因为基於 Mermin-Wagner 定理， : : 小於 3维 的系统，不会有 spontaneous 'continuous' symmetry breaking， : : 所以 Neel state 甚至在有限温度时，也不稳定，原因就是 thermal fluctuation : : 太大。(但 Ising order 是 break 掉离散的 Z2 symmetry，所以是允许的)。 : : 更有趣的一点是，在所谓的 frustrated antiferromagnet 中， : : 因为 exchange interaction 无法同时被满足，所以该系统有很多个 : : classical ground state (都是Neel state)，出名的这类晶体包括 : : 2D 的 Kagome 以及 3D 的 pyrochlore lattice。 : : 这时候 quantum fluctuation 甚至可以帮你找到哪一个 Neel state : : 会是基态，(at least in the large-S sense)，怎麽找呢 ? : : 因为 magnon 的频谱是跟你在哪个 Neel state 下去展开有关， : : 所以你可以计算不同 Neel state 的 magnon 的总零点能: Σ hω/2， : : 最小的那个，(很多时後不只一个)就是 ground state。 : : 最後，我想指出，现在也很红的 Quantum Phase Transistion (QCP)， : : 就是发生在 T=0K, 由 quantum fluctuation 所导致的相变， : : (跟有限温度下，由 thermal fluctuation导致的相变类似)。 : 以上这段讲的太好了!! : : to federal: 你太过拘泥数学了吧，我当然知道那是 Bogoliubov particle : 倒也不是我太拘泥 只是最近做到跟这有点关系(应该是太有关系 虽然在不同系统) : 所以看到会特别注意 : : 的 vacuum。但甚麽是 Bolgoliubov particle 呢 ? 是电子跟电洞的一个线性组合， : : 所以我才说这个 ground state 很有趣，不同於 boson 的基态(所有的粒子都在 n=0)， : : 也不同於简并电子气体或 Fermi liquid，超导的基态是由你说的 Bolgoliubov : : vacuum 所定义，也就是 γ|Ω> = 0. (γ就是B-particle的消灭算符)， : : 但是因为γ是电子电洞 operator 的线性组合，所以这样定义出来的基态|Ω> : : 就特别有趣，因为在这个基态里，电子以一定的 pattern coherently : : 绕着其他电子运动(just a picture)。而某个角度讲，你也可以说这个基态 : : 有一个 cooper pair 的 condensate。最简单的原因是下列算子的基态平均 : : 不为零: <c*c>≠0 (c是电子的消灭算符。) : : 另外你说是 cooper pair 基态，也没错，因为 cooper pair 是 qausi-boson， : : 它是可以 condensate 的。但重点是在这个 condensate 里的电子们运动的图像。 : : 才是我想要强调的地方。 : 同意 看来是我误会你的意思 我以为你再说的是 电子的消灭算符的 ground state : : Laughlin state 跟 numerical exact diagonalization : : 的重叠接近 99.9%，Robert Laughlin 也因此拿了诺贝尔奖， : : 这个 Ground state,跟超导类似， 电子也是以一定的 pattern : : 互相避开对方。 : : 另外，composite electron 不是携带 spin-1/2 的 flux.... : : 是 每个电子携带 3 的基本 flux quanta。 : 我只稍稍看过 没做过类似东西 : 多谢纠正 : : 好吧，那我也简单解释一下 Fermi liquid 好了，其实这个倒是一个 : : 凝聚态里挺 universal 的现象。以致於现在凝聚态的人老是想要做出 : : 东西是 beyond fermi liquid paradigm。 : : 我不太懂你所谓纯电子基态是甚麽意思，但是 Fermi liquid 的基态， : : 电子倒是不完全都在 Fermi surface 下没错。有些电子是因为交互作用 : : 跑到费米面外了。但也不是 random 的跑到外面去(不过也没有超导 : : 子霍尔流体那麽 coherent 就是)。Fermi liquid 的基态可以说是 : : Landau 的 quasi-particle 通通填到对应的 Fermi surface 的一个态。 : : 至於甚麽是 Landau 的 quasi-particle 呢 ? : : 大约如下:(对某个动量 k) : : |q-particle> = Z |e-particle > + (a bunch of e-h pairs). : : 後者是所谓的 incoherent part。前者是 coherent 的 "single particle" : : contribution。只要 Z≠0，Fermi liquid 的描述就还是正确的， : : Z=0，对应到这个理论的 break down。 : 看来我过短的回应 完全没有讲到 Fermi liquid 重点 : 还让你误解(应该也让其他人误解) : 真不好意思 : : 这是废话，系统一定是在基态! : : 但这里要讨论的是， : : 这些系统基态里的电子分布是如何 ? 我个人觉得是挺有趣的， : : 起码跟简单的 free boson比起来 (所有的 boson 都跑到n=0)。 : : 对费米系统而言就不一定是这样了。 : 没错 基态电子分布 和 Fermi surface topology 相当有趣 : 你是做这个的吗? : 我希望我做的下个题目也能和这有关. : By the way, 有史以来在物理版看到跟凝态相关最好的文. 嗯，很羡慕你阿，我一直想做些跟 Fermi liquid 相关的题目。 我是做 spin 相关的 model 理论与计算。 Anyway, 希望以後能够有更多的交流:) --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 68.33.84.8 ※ 编辑: skyrmion 来自: 68.33.84.8 (06/27 04:32)