※ 引述《monmath (烽火狼烟血樱飘杀)》之铭言： : If [H, T]=0 : THT^-1=H : 令tight binding function g(x,k) : HT g(x,k)=H g(x+a,k)=H g(x,k) : translational operator应该跟k无关吧= ="a : 还是我又错了XD : 你说的E(k+G)=E(k)睡觉时想到在哪里看过了 : 1. X-ray diffraction : 2. Umklapp process 嗯... 这里似乎是有点模糊了，不过我想说的是, E(k)=E(k+G) 是对的。这是 single particle 在所谓 periodic potential 中 最典型的结果。考虑最简单的一维 Tight binding: H = Σ t |n+1> <n| + h.c. 这里|n> 是 localized在第n个site上的一个轨域。上述 Hamiltonian 则是描述电子从 n 跳到 n+1 的一个过程。 这个 Hamiltonian 的解很点单, 就是做傅立叶转换: |k> = Σ_n |n> exp(i*k*n) ---> H |k> = E(k) |k>. 其eigen-energy: E(k) = t*cos(k)。 在这里我把 lattice constant a 设为 1，所以倒置晶格 G = 2*pi。 可以看出来，很显然 E(k) = E(k+G)。 这是对固体能带计算最好的出发点，真正模型中，在每一个 site-n 会有不只一个轨域。 那我们又要怎麽理解 almost free particle 在周期场中的行为呢? 很多重要的讨论可在 Ashcroft 中找到。我想指出其中跟 E(k)=E(k+G)的关联。 学过光学或波导的人，可能听过所谓的 coupled mode theory， 这是用来处理传播中的电磁波遇到光栅(grating)的行为。 这跟自由电子在微弱的周期场中的行为是类似的。 这里方便起见，我们也看一维的 case。 一个周期为 a 的场(G=2*pi/a)，最显然的一个效应就是把动量为 k 跟动量为 k+G 的自由电子给 couple 起来。所以最後的 eigenstate 会是 |k>，|k+G>，|k+2*G>，...，|k+n*G>，...的线性组合。 於是，讨论一个 G 以外的 k 就没有意义了，因为它们通通 couple 到某个 k<G。所以最後的 E(k) 只有对 |k|<G/2 是有意义的 (也就是在第一个 Brillouin zone (BZ) 内)。但注意到这个 coupling 会对某个在 1st BZ 内的k产生好几个不同的eigenstae, 也就是 En(k) n=1,2,...。 (ex. |k,1> = 0.9 |k> + 0.1 |k+G> + ..., |k,2> = 0.2 |k> + 0.8 |k+G> + ..., 不同的n对应到不同的线性组合)。 若想要把 En(k) 的定义推到 1st BZ 外呢， 有两个做法，一个就是对所有的 n，我们定义 En(k) = En(k+G)。 另一个就是 E1(k) 只定义在第一个BZ, E2(k)只定义在第二个 BZ，...and so on. 这就对应到两种不同的 zone scheme了。 这个 E(k)=E(k+G) 的结果对 umklapp scattering 很重要， 但那又说来话长了。 PS 这些讨论可能不够清楚，有兴趣的人可参考 Ashcroft & Mermin的书。 但这书中关於 tight-binding 的讨论较真实点，所以也复杂点， 其精随可参考 J.J.Sakurai 的 Modern Quantum Mechanics. --

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