※ 引述《couch》之铭言： 会使用分离变数法，通常是因为以下的特性： 线性方程的解，作线性叠加之後，仍然满足原方程 因为这个特点，所以，我们对於解线性(偏)微分方程，得到一个重要的提示： 如果我们可以找到足够多的解当基底 所有满足这个方程的解，都可以透过线性叠加的方式合成 因此，我们就可以使用线性代数的技巧，使计算更为方便 这里有三个主要的考量点： 1. 如何确定找到的解够多，足够当成基底来用 2. 找基底的方法是否够简单。 如果还要花一大堆力气找基底，抵消掉使用线性代数变成更加方便的好处 那就失去做这件事情的意义了 3. 我所找到的基底是否适用於我想解的问题。 即使是线性叠加，但许多时候我还有其它的条件限制，例如边界的长像 使得某些基底并不适用於我想解的问题 ---------- 分离变数法最大的精神是，想办法把偏微分方程变成常微分方程 这个过程，使得解偏微分方程的难度，降低好几个数量级 因此满足条件 (2) 而最大的问题是，"我会不会漏掉某些解没找到"？ 换句话说，到底条件 (1) 满不满足 这件事情，很幸运地，在数学上可证明 使用分离变数法找到解，足够多到可以当基底使用 所以现在问题就只剩下条件 (3) 了...... ---------- 这时，一个很重要的观念必须引入：对称 我们发现，当我们所解的问题满足某种对称时 解的长像似乎也会满足某种对称性 这让我们又有另一项提示：座标系的选取 当我们所解的问题 其边界长像是方形对称时，二话不说就用直角坐标系 而长像是柱状对称时，就使用圆柱坐标系 而长像是球状对称时，就使用球坐标系 总之，座标系的选取，要尽量满足所解问题的对称条件 那如果没有满足对称条件，是不是不能解？ 不是，还是可以解，只不过，当你在缝合边界条件时 因为坐标系与边界不对称，你一定会一边缝合一边讦谯 !@#$%^&* 当然当你花了一堆力气缝合完成时，你也得到了正确解答 ---------- 其实，当我们使用分离变数法时， 我们发现，在许多情况，我们都在解以下的问题： Ａ(x) f(x) = λ f(x) Ａ(x) 代表一个线性运算子，例如 d/dx, 或 (d^2/dx^2 + x^2) ... 等 λ是一个常数 眼尖的人一看，就明白这是个典型的 eigenvalue problem 想办法找到这个方程的 eigen function 就好了 不过在许多时候，eigenvalue 与 eigen function 并不是那麽容易找 所以，通常我们会使用一些技巧，作变数变换成以下的形式 Ｂ f(y) = λ f(y) Ｂ也是一个线性运算子，不过与Ａ不同的是，Ｂ是常线性运算子，与 y 无关 简化到这个地步，我们可以使用葵花宝典了 Laplace transform 或 Fourier transform 将这个问题变成代数方程式，问题难度再降低几个数量级 ---------- 当问题变简单，你可以爽爽地算 你会发现，最後一步通常都是缝合边界条件 不过缝合时，又会碰到一颗小小的石头 就是，各个可能解的系数要怎麽挑，才会满足边界条件 这一点，就想办法拿出你家的剪刀菜刀剃头刀 使用各种学过的工具，如 Laplace Fourier z conformal.... 得到你要想的系数 这时就功德圆满大功告成了 ---------- 咦？会不会你只找到一种可能解 会不会存在其它解，同时满足此偏微分方程，与所给定的边界条件 嗯，这是所谓解的唯一性问题 这个问题，我们经由数学证明，会得到一些条件 以我们常遇到的线性偏微分方程而言，大部分都是二次偏微分方程 而二次方程分成三大类：椭圆方程(位能)，双曲方程(波动)，抛物方程(热传导) 这三大类方程的唯一性，则由边界条件是否满足某些特性而决定 很幸运地，在大部分我们所处理的状况，解的唯一性是成立的 ※ 引述《couch》之铭言： > ※ 引述《[email protected] (vee vee vee vee)》之铭言： > > 第一次听到这种说法 感觉很新鲜 小时候基本上是管他三七二十一算出答案 > > 就不管了 现在年纪大了才知道要多想 不知道您上述的讲法是从哪本书看来 > > 的 想找来翻翻 > > by Cheng Cosine > > Jun/07/2k3 Ut > mmm.... > 这些是老师上课提到的观念 > 我不知道书找不找的到 > 但讲一些我听到的东西好了 > 像在解扩散的Fick's second law时 > short time会用Green's function的方法解 > 解出所谓的thin film solution(是个Gaussian function) > 然後再利用boundary condition来决定要怎麽把这些Gaussian functin加起来 > long time时则用分离变变数(跟前面提到的decouple有关) > 分完了你爱用哪种transform或级数展开把解算出来就随便你罗 > 这两种方法的不同除了以上所说的 > 还有一个就是级数要收敛的问题 > 倒过来用应该也是可以解 > 只是写出来的解会写到手软还不一定收敛得下来 > 量子力学的话会瞰的解释(以氢原子来说) > 单从分离变数方法来看 > 可能就只能说是数学上解pde的手法 > 但是因为氢原子是central force problem > radial的部分的operator(这我没听过有名字) > 和L^2 , Lz三者是commute > 所以三者各自的eigentfunction可以分开来解 > 而且可以用乘法凑起来 > 从operator的观点来看就可以去interpret分离变数法 > 但我觉得以上只是物理各领域中的不同看法 > 重点应该是用分离变数法解出来的解可以用来展开任何可能的解 > 所以管他解出来对不对 > 反正对的答案最後一定可以凑出来就好啦 -- ┌─────◆ＫＫＣＩＴＹ◆─────┐ ╱ ╱ ￣ ▌￣ ￣ ╲╱ ＢＢＳ 城邦 │ bbs.kkcity.com.tw │ ╲ ╲ ╴ ▌ ▌ ▏ ＫＫ免费拨接 └──《From:61.230.14.45 》──┘ 电话:40586000 帐号:kkcity 密码:kkcity