课程名称︰偏微分方程式二 课程性质︰数学系选修 课程教师︰夏俊雄 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期（年月日）︰2017/03/09 试题 : 1. (20 points) Suppose $U \subset \mathbb R^N$ is an open bounded smooth domain and η(x) ≧ 0 is a $C_0^\infty$ scalar function with $\int_{\mathbb R^N} \eta(x)dx = 1$. If $f \in L^p(U)$ with 1 ≦ p < ∞, show that for each V⊂⊂U \[|\eta_\epsilon*f - f|_{L^p(V)} \to 0,\] as $\epsilon \to 0^+$, where $\eta_\epsilon(x) := \epsilon^{-N}\eta(\frac x \epsilon)$. 2. (50 points) Show the following extension theorem: Let p ≧ 1. Suppose $U \subset \mathbb R^N$ is an open bounded $C^1$ domain. For a given bounded open set V such that U⊂⊂V, there exists a bounded linear operator \[E: W^{1, p}(U) \to W^{1, p}(\mathbb R^N)\] such that for each $u \in W^{1, p}(U)$: (ⅰ) Eu = u almost everywhere in U, (ⅱ) Eu has support within V, and (ⅲ) \[\|Eu\|_{W^{1, p}(\mathbb R^N)} \le C\|u\|_{W^{1, p}(U)},\] the constant C depending only on p, U and V. 3. (30 points) Redo 2. for the case that $U \subset \mathbb R^N$ is an open bounded $C^2$ domain, \[E: W^{2, p}(U) \to W^{2, p}(\mathbb R^N),\] and replace 2. (ⅲ) by \[\|Eu\|_{W^{2, p}(\mathbb R^N)} \le C\|u\|_{W^{2, p}(U)},\] the constant C depending only on p, U and V. -- 第01话 似乎在课堂上听过的样子 第02话 那真是太令人绝望了 第03话 已经没什麽好期望了 第04话 被当、21都是存在的 第05话 怎麽可能会all pass 第06话 这考卷绝对有问题啊 第07话 你能面对真正的分数吗 第08话 我，真是个笨蛋 第09话 这样成绩，教授绝不会让我过的 第10话 再也不依靠考古题 第11话 最後留下的补考 第12话 我最爱的学分 --

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