课程名称︰统计学一上 课程性质︰财金系必修 课程教师︰林岳祥 开课学院：管理院 开课系所︰财金系 考试日期（年月日）︰2016.1.15 考试时限（分钟）： 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） ＊总分110分。 1. 令f(x,y)的联合机率质点函数为f(x,y)=cxy, x=0,1,2, y=1,2; f(x,y)=0, otherwise ，其中C为常数，f(x,y)为良好定义的联合机率质点函数。 (1) (3分)试求Y的边际机率函数，并写出E(Y)。 (2) (3分)试求X与V的相关系数。请问x与Y是否独立？ (3) (5分)试求条件期望值 E(3X+1|Y=1) 与条件变异数 Var(3X+1|Y=1)。 2. 台大财金系的学生每周都有许多考试，跟据多届学长姊的调查统计，平均每4周会有12 次考试。假设考试符合 Poisson 实验之特性 (已知 e=2.7183)。 (1) (3分)试求2次考试问隔超过1周的机率。 (2) (3分)试求2周内刚好有4次考试的机率。 (3) (5分)从学期开始後第6次考试起算，已知4周内没有任何考试，求再等待超过4周，第 7次考试才发生的机率。 (4) (3分)以标准常态分配(Z)求算台大财金系的学生四年160周内超过400个考试的机率， 且做不连续调整，写出机率式。 3-8 台大财金系欲研究台大财金系学生毕业後的月收入情况，因此访问了15个系友，并记录其 性别 ：(M:男，F:女)。调查的结果如下： 编号 月收入 性别 01. 7 M / 06. 5 M / 11. 4 M 02. 5 F / 07. 8 F / 12. 4 M 03. 3 M / 08. 9 F / 13. 9 F 04. 8 M / 09. 3 M / 14. 11 M 05. 4 F / 10. 12 M / 15. 13 F 3. 从编号O1~05的5位系友中采取後放回(with Replacement)方式随机抽取1位，直到抽到 第一位女性系友为止。 (1) (3分)令随机变数X_1为抽取的总次数，写出X_1之分配与相关的参数。 (2) (5分)台大财金系办的工读生说：「计算P(X1>41x1>2)的值，相当於计算P(X_1>2)」 ，试判断他／她说的是否正确？请以分别计算 P(X_1 > 4|X_1>2)及P(X_1>2)说明之。 4. 从编号01-05的5位系友中采取後放回(with Replacement)方式随机1位，直到第2次抽到 女性系友为止。 (1) (2分)令随机变数x，为抽取的总次数，写出x，之分配与相关的参数。 (2) (3分)试求机率值P(X_3>3)。 (3) (5分)台大财金系办的工读生说：「P(X_3>3)=P(X_4)+P(X_4=1)，X_4：抽样的3个系 友中，女性的人数，」请判断他／她说的是否正确？请详细说明，需说明P(X_3>3)、P(X_4 =0)、P(X_4=1)的涵义，并解释等式为什麽会成立。 5. 从编号01 -45的5位系友中随机抽取3位，讨论其性别。 (1) (2分)令随机变数Y_i为第i位被抽取到的系友中男生的人数(i=1,2,3)，求Y_1的分配 与相关的参数。 (2) (4分)若抽取采取後放回(with Replacement)方式，令随机变数w．为3位抽取到的系 友中是男性的总人数，试求W_1的分配及参数，并求E(W_1)与Var(W_1)。 (3) (4分)若抽取采取後不放回(without Replacement)方式，令随机变数W_2为3位被抽取 到的系友中是男性的总人数，写出W_2之分配与相关的参数，并求E(W_2)。 (4) (2分)承上题，求被抽取到的3位系友中，恰好有1位是女性的机率。 6. 为研究需要，从15个系友中抽取4个样本出来研究，台大财金系办的工读生提供了三种 方法。试回答以下问题： (1) (1分)方法A：先随机抽取一个编号，再以三个人为间隔，抓取其余三个样本。例如： 抽到编号3，则抽出的四个样本依序为3,6,9,12。方法A的抽样方式称为？ (2) (2分)方法B：简单随机抽样。试各举出一个可能出现的抽榭非抽样误差？ (3) (4分)方法C：将15位系友分为男女两层，且采取非比例配置(Non-proportional Allo cation)、考虑统计学家W. Edwards Deming所提出，两层个体间单位抽取成本与变异 性的分层抽样法 ( n_i = n*(N_i*σ_i/(C_i)^(1/2))/(Σ j from 1 to k (N_j*σ_j/(C_ j)^(1/2))) ) 不放回的方式抽取4位。假设男女两层 月收入的标准差比例为4:1，单位抽取成本比例为4:1，求算被抽取到的4位系友中，男性与 女性分别被抽取到的人数。 7. 将母体设定为编号01-05的系友，台大财金系想估计母体中最终学历为硕士以上的比率p 。假设编号03的系友最终学历非硕士以上(亦即5位系友中有p=4/5的比例最终学历为硕士) 。 假设从母体(编号01-05的系友)随机抽取n位，n=1,2,3,4,5。第i位系友的最终学历为硕士 以上时，则记录X_i=1,若不为硕士以上时，则记录X_i=0，并将搜集的样本记为(X_1,…, X_n)。 (1) (6分)假设n=3，已取後不放回。(without replacement)的方式抽样，并令样本比率 为S_1。试求S_1的机率分配与期望值。 (2) (4分)假设n=3，以取後放回(with replacement)的方式抽样，并今样本比率为S_2。 试求S_2的机率分配。 (3) (4分)假设n=4，以取後放回(with replacement)的方式抽样，并令样本比率为S_3。 试求S_3的机率分配。 (4) (10分)台大财金系办的工读生说：「S_2与S_3皆为p的不偏估计式，但S_2具有相对有 效性。」请问他／她的说法正确吗？需详细说明S_2与S_3是否为p的不偏估计式的原因，以 及S_2是否具有相对有效性的原因。 8. 财金系毕业系友的月收入为常态分配，欲调查月收入平均数μ与月收入标准差σ，故以 简单随机方式询问n=15位，令随机变数X_1为第1位被抽取到的系友的收入(i=1,2,…,15)。 假设号01-45的15位系友是财金系办以简单随机方式抽取所得的一组样本。 (1) (10分)求算σ^2点估计值舆95%双尼信赖区间。 (2) (14分)求算μ的点估计值与95%双尾信赖区间，并解释所得的信赖区间的意涵。 以上题目中可能使用到的部份机率 右尾机率 分配 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 z 1.282 1.645 1.960 χ^2(v=14) 5.629 6.571 7.790 21.064 23.685 26.119 χ^2(v=15) 6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488 χ^2(v=16) 6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845 T(v=14) 1.345 1.761 2.145 T(v=15) 1.341 1.753 2.131 T(v=15) 1.337 1.746 2.120 --

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