课程名称︰分析导论优二 课程性质︰数学系大二必修 课程教师︰王振男 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期（年月日）︰2015/06/09 考试时限（分钟）：35 试题 : 2 ∞ ikx ∞ ikx 1. (10%) Assume that f, g ∈ L [0, 2π] and f ~ Σ c e , g ~ Σ d e . Show -∞ k -∞ k that 1 2π ＿ ∞ ＿ ──∫ fgdx = Σ c d . 2π 0 -∞ k k 2. (10%) Assume that f has continuous derivative on [0, 2π], f(0) = f(2π), and 2π ∫ f(t)dt = 0. Prove that 0 ∥f∥ ≦ ∥f'∥, where the equality holds iff f(x) = a cos x + b sin x. Here the norm is the 2 L [0, 2π] norm. (Use Parseval's formula.) -- 2 2 1 ψxavier13540 给定一个二次元(|R )上的开集 G，设 f: G →|R ∈ C 。考虑一 autonomous system ╭dx/dt = f(x)，若 ∀t ≧ 0，有φ (x°) ∈ K ⊆ G，其中 K 在 G 上 compact，则 ╰x(0) = x° t ω(x°) 只能是一定点、一周期轨道或连接有限个 critical point 的连通路径，不会像三 次元一样可能出现混沌(chaos)。此即为 ODE 动力系统中的 Poincaré–Bendixson 定理。 --

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