课程名称︰应用数学方法 课程性质︰数学系选修、数学研究所选修、应用数学科学研究所选修 课程教师︰薛克民 开课学院：数学系 开课系所︰理学院 考试日期︰2014年04月24日(五)，15:30-17:30 考试时限：120分钟 是否需发放奖励金：是 试题 : National Taiwan University Spring Semester, 2014 MATH 7421 Method of Applied Mathematics 　　　　　　　　　　　　　　　　　Midterm Date: 15:30-17:30, April 24th, 2014 　．Open Books 1. (40 points) Consider an algebraic equation of the form 　　　　　　　　　　　　 4 　　　　　　　　　　　　x　- εx - 1 = 0 　　for x, where ε in R is a parameter. 　　(a) (20 points) Suppose that ε<<1, find approximate expressions, correct 　　　　to terms of O(ε), for each of the four solutions of the equation. 　　(b) (20 points) Suppose that ε>>1, find the leading order (non-zero) 　　　　approximations for all four of the solutions. In addition, find a more 　　　　accurate approximation to the smallest root in this case. 2. (20 points) Verify that 　　　　　　　　　　　 1 　　　　　　　　　　　∫exp[-x*cosh(t)]dt ～ (2π/x)^(1/2) * exp(-x) 　　　　　　　　　　　-1 　　as x →∞. 3. (40 points) Consider an integral of the form 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∞ ixt 　　　 2　-x 　　　　　　　　　　　　　　I(x) = ∫ e　　 (1 + t ) dt 　　　　　　　　　　　　　　　　　　-∞ 　　for x in R. 　　(a) (10 points) Find the function ψ(t) so that I(x) can be rewritten in 　　　　the following form 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∞　xψ(t) 　　　　　　　　　　　　　　　　I(x) = ∫　e　　　dt. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -∞ 　　(b) (10 points) Determine the steepest descent path. 　　(c) (20 points) Find asymptotic approximation of I(x) as x → ∞. --

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