作者jigfopsda (jigfopsda)
看板NTU-Exam
标题[试题] 99上 陈金次 高等微积分一 第二次期中考
时间Wed Dec 8 23:29:59 2010
课程名称：高等微积分一
课程性质︰数学系必修
课程教师︰陈金次
开课学院：理学院
开课系所︰数学系
考试日期（年月日）︰2010/12/05
考试时限（分钟）：18:00 ~ 21:00
是否需发放奖励金：是
甲：第一部分(以下六题全做，每题10分)
1. A = [0,1] X [0,1], S = {(x,y) | x, y为[0,1]中有理数}则S可数，可令S = {x1,
x2,...}其中Xn = (xn, yn)。因S在A中稠密，故对任意ε> 0，集合
F:={B_(ε/(2^n))(Xn) | Xn 属於 S}
盖住了A。试问：上述结论正确吗？详述其理由。
2. l^2 = {x|x = (x1,x2,x3,...), xn属於R，Σxn^2 < ∞}。
定义||x||_2 = (Σxn^2)^0.5。令A = {x| x属於 l^2, ||x||_2 < 1}, 因为A为
bounded and closed,故A为compact。
试问：上述结论正确吗？详述其理由。
3. (X, d) 为 compact metric space, A 包含於 X 为closed，则A为compact。试证之。
4. connected ≠> path connected，试举一例说明。
5. S = {1/i + 1/j| i, j 为正整数}为可数，可令S = {a1, a2, a3,...}试求
limsup(n->∞)an 及 liminf(n->∞)an。
6. 判断下列二级数是否收敛
(a) ∞
Σ(n(ln(n))^p)^(-1), p > 1
n=2
(b) ∞
Σ n^(-p)sin(x/n), p > 0
n=1
乙：第二部分(以下六题，任选五题)
7.(20分)
(a)试证lim(p->∞)(|a1|^p + |a2|^p + ... + |an|^p)^(1/p) = max{|a1|, |a2|,
..., |an|}
(b)若f在[a,b]上连续，M = max(a≦x≦b)|f(x)|。试证明：
b
lim(∫|f(x)|^p dx)^(1/p) = M
p->∞ a
8.(30分)
A包含於R^n，试证A为compact <=> A 为 bounded and closed
9.(20分)
f(x) = { e^(-1/x) x > 0, X = [0,∞)
{ 0 x = 0
定义d(x,y) = |f(x) - f(y)|, for all x, y属於X
(a)试证明：(X,d)为一metric space。
(b)问(X,d)是否为complete metric space？(即任意Cauchy sequence收敛)
10.(20分)
f在[a,b]上连续，试证f在[a,b]上均匀连续。
11.(25分)
(a) f(x)=(1 + 1/x)^x，试证明f在(-∞,-1)∪(0,∞)上为严格递增
(b) lim(n->∞)ε_n = 0，试证lim(n->∞)(1 + ε_n/n)^n = 1
(c) p属於R，求lim(n->∞)(1 + n^(-p))^n，试就p之值讨论之。
12.(25分)
(a) A,B皆为compact，试证A + B亦为compact。
(b) A为compact，B为closed，试证A + B为closed。
(c) 试举一例，A、B皆为closed，但A + B并非closed。
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