作者zephurl (星云沉沦)
看板NTU-Exam
标题[试题] 96下 陈金次 高等微积分二 第二次期中考
时间Wed Jul 9 21:25:39 2008
课程名称︰ 高等微积分二
课程性质︰ 系定必修
课程教师︰ 陈金次
开课学院： 理学院
开课系所︰ 数学系
考试日期（年月日）︰ 20080517
考试时限（分钟）： 180分钟
是否需发放奖励金： YES
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
∞ cos(nx) ∞ sin(nx)
1. f(x) = 1 + Σ ----------- , g(x) = Σ ----------- ,
n=1 n n=1 n
求f,g的函数表示
∞ ∞
2. ∫ |f(x)|dx < ∞ , 试证: lim ∫ |f(x+h)-f(x)|dx = 0
-∞ h→0 -∞
3. (a) 试述收缩写像定理
n
(b) B = { X | X属於R , |X|≦ 1 } , f: B → B 为连续写像
若 | f(X)-f(Y) | < | X-Y | , 试利用 (a) 证明 f 有固定点
4. K(x,y) 在 [0,1]×[0,1]上连续, |K(x,y)|≦1 ,
for all (x,y) 属於 [0,1]×[0,1] ,
φ(x) 属於 C[0,1] , 试证: 存在唯一 f 属於 C[0,1] ,
1
使 f(x) = φ(x) + ∫ K(x,y)f(y) dy
0
5. (a) f(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + … , |z|< 1
|a|= 1 , a≠1 , 试证: a 为 regular point , 并求 f 在 a 点的幂级数展开
及其收敛半径
(b) f(z) = 1 + z^2 + z^4 + z^8 + z^16 + … , |z|< 1
|a|= 1 , 试证: a 非 f 的 regular point (即 f 不能在 a 点幂级数展开)
∞ 1 1
6. f(x) = Σ (a_n)*x^n , --- = lim sup ( |a_n| )^(---)
n=0 R n→∞ n
试证: (a) f(x) conv. uniformly on |x| ≦ ρ , for all 0 < ρ < R
∞
(b) f'(x) = Σ n(a_n)x^(n-1)
n=1
7. (a) f 在 |z| < R 上解析 , f(α_n) = 0 , lim α_n = α_0 , |α_n|,|α_0|< R
n→∞
试证: f 恒等於 0
n n
(b) f 在 |z|< 1 上解析 , 且 f'(-------) + f(-------) = 0 , for all n
2n+ 1 2n+ 1
f(0) = f'(0) = 1 , 求 f
8. f(x) = (π-|x|)^2 , -π≦ x ≦π ,
π^2 ∞ 4
(a) 试证: f(x) = ----- + Σ -----cos(nx)
3 n=1 n^2
∞ 1 π^2 ∞ 1 π^4
(b) 试证: Σ ----- = ----- , Σ ----- = ------
n=1 n^2 6 n=1 n^4 90
∞ sin(nx) 2
9. 试证: Σ --------- conv. for all x , 但它非某函数 f 属於 L [-π,π] 的
n=2 log n
Fourier Series , 并问此收敛均匀否?
(任选八题 , 每题20分)
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