课程名称︰微积分甲下 课程性质︰系定必修 课程教师︰杨维哲 开课学院：理学院 开课系所︰物理学系 考试日期（年月日）︰2008/6/18 考试时限（分钟）：120min 是否需发放奖励金：是！ 试题 : (每题题分≧15) 1.假设以电荷的体密度ρ属於C^2 (二阶导函数存在且连续)生成电位场 ρ(ξ) Φ(x) := ∫ -------- dV (ξ); |x-ξ| 又设：若ρ(ξ)≠0，则|ξ| < R1; 试证明：电位在球面S(R1) = {x:|x| = R1} (圆心在原点，半径=R1) 上的平均值， 就等於：把全部电量 Q = ∫ρdV 放在原点时，所生的在球面S(R1)上的电位 Q/R1 【提示】考虑球面S(R2)上电位的平均(R2>R1)，然後令R2↑∞ 2.考虑抛物线 x^2 = 4*p*z, (p>0) 作直线 z=b, (0<b<p) 截得一个「抛物弓形域」， 再将它绕z轴回，得到一个「碗粿」Ｒ; 如果Ｒ上有均匀的单位密度的电荷，试求在焦点处的电场强度！ 3.对於向量场 Ｅ=2xy^3z^4*i+3x^2y^2z^4*j+4x^2y^3z^3*k，试证明： 此场有「位势」Φ (即是，可使得gradΦ = Ｅ者，当然你必须算出一个！) 4.若向量场 u = x^2*i+y^2*j+z^2*k，计算∮u dA s 此处s是球面 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2 5.计算：∮((y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz)，其中Γ是椭圆： Γ x = sin^2(t), y = 2sin(t)cos(t), z = cos^2(t), (0≦t≦π) 6.(n变数)目标函数f(x)的极值问题，有Fermat处方，参见讲义 如果是附带了约束条件 gi(x)=0, (i=1,2,…,k)，要如何求得目标函数f(x)的极值？ 这有Lagrange处方：写出修正的目标函数 ~ k f(x;λ ,…,λ ) := f(x)- Σ λ * g (x) 1 k i=1 i i 然後就当做无约束的 n+k 元的极值问题来解！ 用这处方，试在 2xy^4z^4 = 1 的约束下，求 x^2+y^2+z^2 的极小！ 7.这里的i,ii,iii,选一个做就好了。自己觉得程度不错的，该做iii 7i.对於最速下降线的问题，试用Euler处方，写出此问题的微分方程式！ 微分方程的答案已知是轮转线(讲义Dd.5)。你能解决吗？(Sorry！我完全没有讲解 微分方程的解法！那麽最少用「验证法」吧！) 7ii.若不会上题，那就用Snell-Fermat的说法，(讲义Dd.4)验证此解答！ 7iii.求一条曲线 y = f(x), -a≦x≦a,使得它：通过两点(±a,0)长度为L(≧2a) a dy 2 而位能 ∫ √(1+(----) ) y(x)dx 为最小！ -a dx 这里曲线长度就是一个拘束条件，而Lagrange的处方当然行得通！ (答案是悬链线！) 【注】 (考试的第一件事就是写下姓名学号;也许也写下电话，住址。) 卷末写下：你认为你该得几分学期成绩。 另外也写下另外随便一位同学应得几分，做为对照。 --

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