※ [本文转录自 gallantry 看板] 作者: testishard (Testishard) 看板: gallantry 标题: Re: [问题] 问什麽东方的数学...这麽烂 时间: Tue Jan 12 23:38:43 2010 身为一个数学系的学生，看到这个讨论串忍不住手痒上发表我的看法 读了数学系後，才发现我是如此的虚弱所以以下言论有可能会有错误的地方 请各位版友多多包函。 -------------------------------------------------------------------- (数的演变) 数学主要研究的主题是"数和形"(数字和形状) 发展到近代主要会用两种方式来研究数字和形状，一种是分析，一种是代数 在"数字"的方面关注的有两点，一个是数系，一个是运算 而数系一直为了运算的需求而拓展，可以视为把数线填满的过程… 从一开始的自然数(1 2 3 4 …)和加法的概念 这两个东西应该是人类本能就会意 识到的。 自然数在做加法运算是有封闭性，所以在做加法时，自然数不会出啥问题 但当人类意识到扣掉(减的概念也就是加法的反运算)时，就发现 干糟了… 1-1是什麽鬼东东？ 所以为了满足运算上的需要，进而有了0的概念，使 1-1=0 2-2=0 … 那1-2又是什麽洨？ 1-2 = 1-1-1 = 0-1？？？ ~崩溃~ 为了解决这个问题只好再次发挥数学家最强的嘴炮---我定义 把比零少一定为负一，然後负一长这样-1(这是为了方便起见)，之後就依此类推 这样就定出了负整数。 自然数、零和负整数的合体就是整数了。人类发现整数对加减法有封闭性，不会 出现什麽不可思议的事 (某个集合对某个运算有封闭性就是集合中的任两个元素做此运算的结果还是此集合 的元素。这是个很好的运算性质，因为你不会算着算着突然发现不知道答案是 什麽鬼东西，而且算出的答案还可以接combo，继续跟集合的其他元素做运算) 当人类意识到乘这件事时，就是算数上一大跳跃性的进步，而整数对乘法依然有封闭 性(感动)。但有乘法运算，就总有一天会有人发现可以倒着算---乘法反运算(除法) 这时出现了两个很大的问题 1除以0 和 1除以2 ~青筋~ 1除以0 这件事数学家怎麽想都觉得毛毛的不对劲，突然想起一句明言「不要问，很恐怖」 「什麽你还要问…好啦好啦，我定义这件事无意义啦！ 什麽你不服！！」 这时就要数学家就会大声的说「I am the law... 」 1除以2 就是把一分成两份取其中一份的意思，整数中没有一个数有这种概念那就再 次定义出一种新的数---有理数，也就是可以写成某那个整数比的数。 哇哈哈！这下加减乘除都没有问题啦！而且因为有理数有稠密性(任两个有理数之 间一定存在某个有理数)，所以会很自然的认为数线已经被补完了。也就是说任何数都可 以用某两整数的比来表示，显然我们的毕哥就是这件事的信徒之一。 但是毕哥的弟子吸仆死很不给面子地用几何的方法证明根号2不是有理数… 得罪了毕哥还想跑，仆街吧！结果吸仆死就仆街而死了。 在大学的数学系，有一门很重的主修叫高等微积分(高等到完全看不出来 跟微积分有任何关系)的前三分之一本就在讲数线的最终补完计画---(完备性公设) 这时就不得不提江湖人称数学之王(ㄅㄚ ㄉㄢˋ)，搞死人不偿命的高斯… ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~的弟子 也就是德国数学家理察戴德金(有没有讲德语的数学都很好的八卦)搞出了一个定义实数 (有理数和无理数)的方法。 ================以下为火星文==看不懂请服用翻译蒟蒻=========================== 假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B，A中的每一个元素都小於B中的 每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。 对於任一分割，必有3种可能，其中有且只有1种成立： 1. A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≦1的有理数，B是所有>1的有理数 2. B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数，B是所有≧1的有理数 3. A没有最大元素，B也没有最小元素，例如A是所有负的有理数，零和平方小於2的正 有理数，B是所有平方大於2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数，因为平 方等於2的数不是有理数。 注意：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数(a+b)/2 不存在於A和B两个集合中，与A和B的联集是所有的有理数矛盾 第3种情况，戴德金称这个分割为定义了一个无理数，或者简单的说这个分割是一个无理 数。前面2种情况中，分割是有理数。 这样，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。 ==========================翻译蒟蒻(嚼~嚼~嚼)================================== 一刀砍在数线上，这时以被砍到的那个倒霉鬼k为分类标的，把所有有理数分成两类 一类是≦k的有理数，一类是>k的有理数，如果k是有理数的话那一定就在这两类的某 一类中。但如果发现k不在这两类中的任一类中…嘿嘿嘿，那就恭喜你啦，发现内鬼了 快叫他出来面对啦…你就可以用他的血在他的头上写个惨字…呃~不对~是写无理数 ============================你得到他了吗====================================== (当你在读高微时就会发现，它其实就是在用极限的概念，和分析的语言(δ和ε---就是 火星文啦！)将有理数拓展成实数) 至於虚数和复数嘛！其实只是为了运算上的方便而搞出来的，说实在的有学过复变的 就会发现复数其实很好用，某个数学之神(经病)曾讲过，一个真理通往另一个真理的 捷径是复变。在实数坐标中一些很复杂的图形可以透一个isomophism(1-to-1 & onto加上保持运算性质不变的函数)转换到复数平面上变成很简单有规则的图形 解决後，再把答案用反函数送回原来的实坐标系中，就是真正问题的答案了。 提到复变就要提到高级天龙人科科科西，科西当时完全不吃微积分那套，基本上 他体现了数学家的龟毛，因为当时的微积分的解释很怪。举个例：dx --> 0- 当时的讲法是 1. dx<0， 2. dx无限靠近0但不是0， 3. 而且没有任何数比dx还靠近0，也就是说不存在dx和0之间的数。 仔细想一想这其实是一件很怪的事，因为1和3明显的有矛盾 当时还被人戏称dx是一个幽灵数。 後来科西坚持那套用 δ 和 ε 写的火星文来描述微积分的概念，才解决了这件怪事。 ==========================回到原po的问题==================================== 我觉得把数学分为中国的数学和西方的数学比较不好 应该要分为"希腊"文明所发展出来的数学和"非希腊"文明所发展出来的数学 这两者之间的最大差别是希腊文明中有哲学，这也是希腊文明最大的特点 可能有人会说，_____也有哲学啊！(请自行代入喜爱的文明) 但我觉得____文明并没有像希腊那样所谓的哲学，最多只能说有某种思想体系。 哲学这两个中文字，是日本人从中国古书中找到的觉得这两个字看起好像很威 就私自地把它对应到英文philosophy这个字，之後近代中国人再口嫌体正直地采用 万恶小日本的翻译。 所以中国古书中的哲学，和现代哲学所指涉的意义是不一样的。 希腊哲学指的是爱智慧，而它的发展靠得是一群古希腊宅男们闲闲没事做整天胡 思乱想，提出一堆看似与现实生活没关系而且莫名奇妙(对很多人而言)的问题。 之後再把他们对於这些问题的想法，尽量用"内在无矛盾"的方式论述出来， 最後再彼此辩论(吵架？)，进而建构出一堆XX论的东西。 而内在无矛盾就是希腊哲学与其他文明思想体系(尤其是中国)的最大不同处。 因为在内在无矛盾的最高指导原则下(不然会被对方辩友用归谬法的方式战爆)， 才有可能把思想系统化和理论化。 为了要"内在无矛盾"所以古希腊阿宅们渐渐发现逻辑好像很重要，当然定义也 很重要，因为阿宅们常发现彼此为了一个名词战了半天，结果发现大家所指的东西 不一样，根本就是鸡同鸭讲，白白浪费了一堆口水。 每个学问都有关注的事物，数学所关注的就是"数与形"。数字和形状跟自然与我们 的生活息息相关，所以当然也是这群爱胡思乱想的阿宅的重要辩题(吵架主题) 所以希腊数学的发展自然也有建立内在无矛盾系统的特性。 这时不得不提一本划时代的着作"几何原本"。这本书为什麽重要呢？因为欧几里德 将他当时所搜集到的几何性质公理化。公理化其实就是"突然终止"的论证法，也就是不能 再往前问为什麽，公理集就是一切的初始。(还有另外两种论证法，一种是大家耳熟能详 的循环论证，还有一种就是无限退後：例如佛教的因果论就是无限退後) 希腊文明的数学发展在中世纪的时候停了下来，但内在无矛盾的论述精神并没有 消失，只是阿宅们信了上帝，将这种研究方法用在发展神学上，而公理集是从两约圣经 中整理出来，简单来说就是方法一样但关注的东西从数与形变成上帝和圣经。 (曾看过一些神学论文，看起来真的很数学) 後来文艺复兴後大家才又把关心的对象，从上帝、天堂和圣经(神本)转向成人、世界和 物质(人本)，将原本的那种研究精神与方式拿来研究世界上各种东西(这时很多领域开 始从哲学分化出来了)。 德国的数学家康托尔创立了现代集合论(其中的可数集和不可数集是个有趣的东西) 。这也是划时代的创见，因为从此数学就开始利用集合论真正的抽象化了。(抽象就是 抽掉一切的表象，留下最本质的结构。这样更加大数学可以应用的范围，使数学成为更 有力的工具) 近代的数学就是靠公理化提供发展的基石，用集合将概念抽象化地定义下来 一次性地研究清楚同类型的所有问题，以便拓广拓深数学所能适用的范围。 还有很多人会觉得数学家常常想证明一些看似毫无用处or显而易见的命题， 像：1+1=2、算数基本定理、微积分基本定理，庞加莱猜想还有数论中一堆XXX猜想 其实重点不是在证明这些命题是不是对的，而是在证明的过程中会可能会发现一些 更本质的现象，或者当用现有的数学工具证明不出来时，搅尽脑汁地发展出更好更 强而有力的数学工具或技巧去证明。 我想在中国文明文化中无法自行的发展出像传承自希腊文明的现代数学，最主要有 几个点：第一，不力求系统的内在无矛盾化(一切自己说不清的就，道可道非常道，反正 就是玄之又玄，搞不好自己也不懂只好唬烂别人说「不要问，很恐怖」) 第二，对於显而易见的问题不去追根究底，想说「阿不就是这样吗？有什麽 好问为什麽的」(现在很多人也是这样) 第三，过度的诉诸於权威，权威不容挑战和怀疑，不然就是大逆不道 啊！打了这麽多，也许会有很多谬误，请大家多多指正包涵…谢谢 --

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